Question

如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为α（当点E，F分别与B，A重合时，记α=0°）．
（1）当α=0°时（如图2所示），求x，y的值（结果保留根号）；
（2）当α为何值时，点G落在对角形AC上？请说出你的理由，并求出此时x，y的值（结果保留根号）；
（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：

α	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°
x		0.03	0			0.29
y		0.29	0.13			0.03

（4）若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形．
（参考数据：≈1.732，sin15°=≈0.259，sin75°=≈0.966）

Answer 1

解：（1）过G作MN⊥AB于M交CD于N，GK⊥BC于K．∵∠ABG=60°，BG=1，∴MG=，BM=．
∴x=1-，y=．

（2）当α=45°时，点G在对角线AC上，其理由是：
过G作IQ∥BC交AB，CD于I，Q，
过G作JP∥AB交AD，BC于J，P．
∵AC平分∠BCD，∴GP=GQ，∴GI=GJ．
∵GE=GF，
∴Rt△GEI≌Rt△GFJ，
∴∠GEI=∠GFJ．
∵∠GEF=∠GFE=60°，
∴∠AEF=∠AFE．
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45度．
即α=45°时，点G落在对角线AC上．
（以下给出两种求x，y的解法）

方法一：
∵∠AEG=45°+60°=105°，
∴∠GEI=75度．
在Rt△GEI中，GI=GE•sin75°=，
∴GQ=IQ-GI=1-．
∴x=y=1-．

方法二：当点G在对角线AC上时，有，
解得
∴x=y=1-．

（3）

α	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°
y	0.13	0.03	0	0.03	0.13	0.29	0.50
x	0.50	0.29	0.13	0.03	0	0.03	0.13

（4）由点G所得到的大致图形如图所示：

说明：1、第（2）问回答正确的得，证明正确的得，求出x，y的值各得；
2、第（3）问表格数据，每填对其中4空得；
3、第（4）问图形画得大致正确的得，只画出图形一部分的得．
分析：（1）本题要依靠辅助线的帮助．过G作MN⊥AB于M交CD于N，GK⊥BC于K．求出MG，BM，求出x，y的值．
（2）过G作IQ∥BC交AB，CD于I，Q，过G作JP∥AB交AD，BC于J，P．证明Rt△GEI≌Rt△GFJ，推出∠AEF=∠AFE=45°．得出当α=45°时，点G在对角线AC上．已知∠AEG=105°，∠GEI=75°利用三角函数得出GI，GQ的值后得出x与y的关系．
（3）（4）是根据题意利用三角函数把α值代入可求解．
点评：点评：这是一道较好的压轴题，起点低，思路宽，一改那种“谈题色变”的面孔，而且又有较好的区分度．本题从表面看来是一个针对几何的相关知识进行考查的问题，但从试题的更深层次来理解，可以看到：在所有动态几何问题中，除去由于说理的需要而必须进行相关的合情推理论证及演绎推理外，更多的情况下还会遇到其运动变化过程中相关特殊位置的研究，而对这些特殊位置的研究常常是和几何问题的量化描述密不可分的，而其量化的描述一般会用到函数、方程或不等式．另外，还强化了对数形结合及用代数方法解决几何问题能力的考查．