Question

24、提高题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（1）已知代数式-2x²+4x-18
①用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数．
②当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？
（2）阅读下面的例题
解方程x²-|x|-2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x²-x-2=0，
解得：x₁=2，x₂=-1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x²+x-2=0，
解得：x₁=-2，x₂=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x₁=2，x₂=-2．
请参照例题解方程x²-|x-1|-1=0．
（3）假日旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去该风景区旅游，共支付给假日旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去风景区旅游？

Answer 1

分析：（1）利用完全平方式来解答；
（2）利用公式法来解方程，在解答过程中，要注意对|x-1|进行分类讨论；
（3）根据题意，先确定旅游团的人数x，显然x＞25，因为如果x≤25，则费用是25×1000=25000元，而实际费用是27000元，不符；所以每个人的费用应该是1000-20（x-25）=1500-20x元，根据题意列出方程（1500-20x）x=27000，解方程即可．

解答：解：（1）①-2x²+4x-18
=-2（x²-2x）-18
=-2（x-1）²-16
∵-2（x-1）²≤0，-16＜0，
∴-2（x-1）²-16＜0，
∴无论x取何值，代数式的值总是负数；
②由①知，原式=-2（x-1）²-16，
∴当-2（x-1）²=0，即x=1时，代数式有最大值；
当x=1时，原式=-16．
∴当x=1时，代数式有最大值，最大值是-16；
（2）①当x-1≥0，即x≥1时，原方程化为x²-x=0，
解得：x₁=1，x₂=0（不合题意，舍去）．
②当x-1＜0，即x＜1时，原方程化为x²+x-2=0，
解得：x₁=-2，x₂=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x₁=1，x₂=-2；
（3）设该单位这次共有x个员工去风景区旅游．则根据题意，得
显然x＞25，因为如果x≤25，则费用是25×1000=25000元，而实际费用是27000元，不符；
所以每个人的费用应该是1000-20（x-25）=1500-20x元，根据题意，得
（1500-20x）x=27000，
解得x₁=30，x₂=45
①当x₁=30，1500-20x=900＞700，符合题意；
②当x₂=45，1500-20x=600＜700，不符合题意，舍去．
答：该单位这次共有30个员工去风景区旅游．

点评：本题考查了解一元二次方程的方法，配方法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当配方法不适合方程时，即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．