Question

AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合．
（1）求证：△AHD∽△CBD；
（2）连HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证△AHD∽△CBD，只要证明这两个三角形的两组对边的比相等，就可以证出；
（2）①设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x，由Rt△AHD∽Rt△CBD可用x表示出DH的值，在Rt△HOD中利用勾股定理可用x表示出OH的值，进而可得出结论；
②当点E移动到使D与O重合的位置时，这时HD与HO重合，由Rt△AHO∽Rt△CBO，利用对应边的比例式为方程，可以算出HD=HO=，即HD+HO=1；
③当D在OA段时BD=1+x，AD=1-x，证明同①．
解答：（1）证明：AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°，则∠ABC+∠BAE=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BAE+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠ABC，
又∵∠ADH=∠CDB=90°，
∴△AHD∽△CBD．

（2）解：设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x，
∵Rt△AHD∽Rt△CBD，
则HD：BD=AD：CD，
即HD：（1-x）=（1+x）：2，
即HD=，
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH==，
所以HD+HO=+=1；
②当点E移动到使D与O重合的位置时，这时HD与HO重合，由Rt△AHO∽Rt△CBO，利用对应边的比例式为方程，可以算出HD=HO=，即HD+HO=1；
③当D在OA段时BD=1+x，AD=1-x，证明同①∵Rt△AHD∽Rt△CBD，
则HD：BD=AD：CD，
即HD：（1-x）=（1+x）：2，
即HD=，
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH==，
所以HD+HO=+=1．
点评：本题主要考查了三角形相似的证明方法，有两组对应角相等的三角形相似；在第二问中根据三角形相似，对应边的比相等，把问题转化为解方程的问题．