Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（6，0），边AB上有一点P（m，1），点M，N分别在边OB、OA上，联结MN，MN∥AB，联结PM、PN、AM．
（1）求直线AB的解析式及点P的坐标；
（2）当AC=CM时，求出点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q在边AB上，S_△ANQ=S_△ANC，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，再把P点坐标代入直线解析式可求得P点坐标；
（2）由条件可证明△ACP≌△MCN，可证得四边形APMN为平行四边形，由A、P的坐标可求得AP的长，则可求得MN的长，利用平行线分线段成比例可求得OM的长，则可求得M的坐标；
（3）由条件可知点Q为AP的中点，由A、P的坐标可求求得Q点的坐标．

解答 解：
（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+6，
∵P（m，1）在直线AB上，
∴1=-$\frac{3}{2}$m+6，解得m=$\frac{10}{3}$，
∴P点坐标为（$\frac{10}{3}$，1）；

（2）∵MN∥AB，
∴∠PAC=∠NMC，
在△ACP和△MCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠NMC}\\{AC=MC}\\{∠ACP=∠MCN}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△MCN（ASA），
∴AP=MN，
∴四边形APMN为平行四边形，
∵A（4，3），P（$\frac{10}{3}$，1），
∴MN=AP=$\sqrt{（4-\frac{10}{3}）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∵B（6，0），
∴OB=6，AB=$\sqrt{（4-6）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵MN∥AB，
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{OM}{6}$=$\frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{13}}$，解得OM=$\frac{4\sqrt{130}}{13}$，
∴M点坐标为（$\frac{4\sqrt{130}}{13}$，0）；

（3）∵S_△ANQ=S_△ANC，
∴点C和点Q到AN的距离相等，
∴CQ∥AN，
∴C为PN的中点，
∴Q为AP的中点，
∵A（4，3），P（$\frac{10}{3}$，1），
∴Q点坐标为（$\frac{11}{3}$，2）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、平行线分线段成比例、三角形的面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中证得四边形APMN为平行四边形，求得OM的长是解题的关键，在（3）中确定出点Q为AP的中点是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．