Question

已知一个矩形纸片OABC，其中OA=2，OC=4，如图，将该矩形纸片放置在平面直角坐标系中，边OA与OC分别与x轴、y轴重合，折叠该纸，折痕与边OC交于点D，与对角线AC交于点M，
（1）若折叠后使点C与点A重合，求点D的坐标；
（2）若折叠后点C落在边OA上的点为C′，设OC′=x，OD=y，试写出y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由折叠的性质可得点M是AC的中点，从而根据点A及点C的坐标即可得出点D的坐标．
（2）根据折叠的性质可得出△C'DM≌△CDM，设OC′=x，OD=y，则可表示出C'D、CD，建立等式可得出y与x的关系式，再由点C'在OA上可得出自变量的范围．

解答：解：（1）由题意得点M是AC的中点，点A（2，0）点C（0，4），
则CA=2

5

，CM=

5

，
∵△CDM∽△CAO，
∴CD：CA=CM：CO，
∴CD=2.5，
∴点D的坐标为（0，4-2.5）=（0，1.5）；

（2）折叠后可得△C'DM≌△CDM，设OC′=x，OD=y，
则C'D=CD=4-y，在RT△OC'D中，C'D²=OC²+OD²，即（4-y）²=y²+x²，
即可得y=-

1

8

x²+2，
由点C'在OA上可得0≤x≤2，
∴解析式：y=-

1

8

x²+2（0≤x≤2）即为所求．

点评：此题考查了折叠的性质、勾股定理及矩形的性质，属于综合性较强的题目，关键是找准折叠后所得的等线段，根据条件建立等式，难度较大．