Question

已知a₁，a₂，…，a_n是正整数，且a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，a₁²+a₂²+…+a_n²=24，则（a₁，a₂，…，a_n）=

（1，1，2，3，3）或（1，1，1，1，2，4）（对一个给3分）

．

Answer 1

分析：由于a₁，a₂，…，a_n是正整数，5²＞24，能确定1≤a_n≤4，再分别分情况讨论，①当a_n=1时；②当a_n=2时；③当a_n=3时；④当a_n=4时，注意a₁≤a₂≤…≤a_n，在每一种情况里又需要分情况讨论．

解答：解：∵5²＞24，
∴a_n≤4，
又∵a_n是正整数，
∴1≤a_n≤4，
①当a_n=1时，∵a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，
∴a₁=a₂=…=a_n=1（n=10），
∴a₁²+a₂²+…+a₁₀²=10，
又∵a₁²+a₂²+…+a_n²=24，
∴此解不成立；
②当a_n=2时，∵a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，
∴a _n-1=1或a _n-1=2，
当a _n-1=1时，a _n-2必等于1，以此类推，
∴a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=a₇=a₈=1（n=9），
∴a₁²+a₂²+…+a₉²=12，
又∵a₁²+a₂²+…+a_n²=24，
∴a_n-1=1不成立；
当a _n-1=2时，a _n-2可等于1，也可等于2，
那么就有a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=1（n=8），
∴a₁²+a₂²+…+a₈²=14≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=a₃=a₄=1，a₅=a₆=a₇=2（n=7），
∵a₁²+a₂²+…+a₇²=16≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=1，a₃=a₄=a₅=a₆=2（n=6），
∵a₁²+a₂²+…+a₆²=18≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=2（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=20≠24，
∴此解不成立；
∴当a_n=2时，没有符合题意的解；
③当a_n=3时，∵a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，
∴a _n-1=1或a _n-1=2或a _n-1=3，
当a _n-1=1时，a _n-2必等于1，
那么a₁=a₂=…=a₇=1，a₈=3（n=8），
∵a₁²+a₂²+…+a₈²=16≠24，
∴此解不成立；
当a _n-1=2时，a _n-2可以等于2，也可以等于1，
当a₁=a₂=…=a₅=1，a₆=2，a₇=3（n=7），
∵a₁²+a₂²+…+a₇²=18≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=a₃=1，a₄=a₅=2，a₆=3（n=6），
∵a₁²+a₂²+…+a₆²=20≠24，
∴此解不成立；
或a₁=1，a₂=a₃=a₄=2，a₅=3（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=22≠24，
当a _n-1=3时，a _n-2可以等于3，也可以等于2，还可以等于1，
当a _n-2=3时，则a₁=1，a₂=a₃=a₄=3（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=28≠24，
∴此解不成立；
或a _n-2=2时，则a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=a₅=3（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=24，
∴此解成立；
或a₁=a₂=2，a₃=a₄=3（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=26≠24，
∴此解不成立；
④当a_n=4时，∵a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，
∴a _n-1=1或a _n-1=2或a _n-1=3或a _n-1=4，
当a _n-1=1，必有a₁=a₂=…=a₆=1，a₇=4（n=7），
∵a₁²+a₂²+…+a₇²=22≠24，
∴此解不成立；
当a _n-1=2，有a₁=a₂=a₃=a₄=1，a₅=2，a₆=4（n=6），
∵a₁²+a₂²+…+a₆²=24，
∴此解成立；
或a₁=a₂=1，a₃=a₄=2，a₅=4（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=26≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=a₃=2，a₄=4（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=28≠24，
∴此解不成立；
当a _n-1=3时，有a₁=a₂=a₃=1，a₄=3，a₅=4（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=28≠24，
∴此解不成立；
或a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=30≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=3，a₃=4（n=3），
∵a₁²+a₂²+…+a₃²=34≠24，
∴此解不成立；
当a _n-1=4，只有a₁=a₂=1，a₃=a₄=4（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=34≠24，
∴此解不成立；
∴综上所述，符合条件的解有两组：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．
故答案是：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．

点评：本题考查了等式的证明．可以先让选择的数符合其中一个条件，再看是否符合第二个条件．