Question

9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+c（m≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点E，点D的坐标为（2，0），当△ODE是等腰三角形时，求出所有符合条件的P点坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出c的值，然后根据点A（4，0）在抛物线y=mx²-2mx+c（m≠0）上，列出关于m的一元一次方程，求出m的值即可；
（2）分三种情况进行求解：①当OD=OE时，OD=DE=AD=2，又由于∠OAE=45°，那么△OEA是个等腰直角三角形，于是可得出E的坐标应该是（2，2），由于P，E两点的纵坐标相同，因此可将E的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标；②当OE=DE时，如果过E作EM⊥OD于M，那么EM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形EMA中，由于∠OAE=45°，因此EM=AM=3，也就得出了E的纵坐标，然后根据①的方法求出P的坐标；③当OD=OE时，OE=2，由于O到AC的最短距离为2$\sqrt{2}$，因此此种情况是不成立的，综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=mx²-2mx+c（m≠0）与y轴交于点C（0，4），
∴c=4，
∵抛物线与x轴交于点A（4，0），
∴16m-8m+4=0，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）存在这样的直线，使得△ODE是等腰三角形，理由为：
在△ODE中，分三种情况考虑：
①若DO=DE，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DE=2，
在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DEA=∠OAC=45°，
∴∠ADE=90°，
此时，点E的坐标为（2，2），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=2，
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$，
此时，点P的坐标为：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）；
②若EO=ED，过点E作EM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得：OM=$\frac{1}{2}$OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AME中，ME=AM=3，
∴E（1，3），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=3，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$，
此时，点P的坐标为：P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）；
③若OD=OE，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4$\sqrt{2}$，
∴点O到AC的距离为2$\sqrt{2}$，而OE=OD=2＜2$\sqrt{2}$，
所以AC上不存在点使得OE=OD=2，
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODE是等腰三角形，
所求点P的坐标为：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）或P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及到的知识较多，有待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的判定与性质以及点到直线的距离等知识，解答本题的关键要掌握等腰三角形的判定，要注意的是（2）中不确定等腰三角形的腰是哪些线段时，要分类进行讨论，此题有一定的难度．