分析 (1)首先求出c的值,然后根据点A(4,0)在抛物线y=mx2-2mx+c(m≠0)上,列出关于m的一元一次方程,求出m的值即可;
(2)分三种情况进行求解:①当OD=OE时,OD=DE=AD=2,又由于∠OAE=45°,那么△OEA是个等腰直角三角形,于是可得出E的坐标应该是(2,2),由于P,E两点的纵坐标相同,因此可将E的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标;②当OE=DE时,如果过E作EM⊥OD于M,那么EM垂直平分OD,因此OM=1,在直角三角形EMA中,由于∠OAE=45°,因此EM=AM=3,也就得出了E的纵坐标,然后根据①的方法求出P的坐标;③当OD=OE时,OE=2,由于O到AC的最短距离为2$\sqrt{2}$,因此此种情况是不成立的,综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标.
解答 解:(1)∵抛物线y=mx2-2mx+c(m≠0)与y轴交于点C(0,4),
∴c=4,
∵抛物线与x轴交于点A(4,0),
∴16m-8m+4=0,
∴m=-$\frac{1}{2}$,
∴抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4;
(2)存在这样的直线,使得△ODE是等腰三角形,理由为:
在△ODE中,分三种情况考虑:
①若DO=DE,
∵A(4,0),D(2,0),
∴AD=OD=DE=2,
在Rt△AOC中,OA=OC=4,
∴∠OAC=45°,
∴∠DEA=∠OAC=45°,
∴∠ADE=90°,
此时,点E的坐标为(2,2),
由-$\frac{1}{2}$x2+x+4=2,
解得:x1=1+$\sqrt{5}$,x2=1-$\sqrt{5}$,
此时,点P的坐标为:P(1+$\sqrt{5}$,2)或P(1-$\sqrt{5}$,2);
②若EO=ED,过点E作EM⊥x轴于点M,
由等腰三角形的性质得:OM=$\frac{1}{2}$OD=1,
∴AM=3,
∴在等腰直角△AME中,ME=AM=3,
∴E(1,3),
由-$\frac{1}{2}$x2+x+4=3,
解得:x1=1+$\sqrt{3}$,x2=1-$\sqrt{3}$,
此时,点P的坐标为:P(1+$\sqrt{3}$,3)或P(1-$\sqrt{3}$,3);
③若OD=OE,
∵OA=OC=4,且∠AOC=90°,
∴AC=4$\sqrt{2}$,
∴点O到AC的距离为2$\sqrt{2}$,而OE=OD=2<2$\sqrt{2}$,
所以AC上不存在点使得OE=OD=2,
综上所述,存在这样的直线l,使得△ODE是等腰三角形,
所求点P的坐标为:P(1+$\sqrt{5}$,2)或P(1-$\sqrt{5}$,2)或P(1+$\sqrt{3}$,3)或P(1-$\sqrt{3}$,3).
点评 本题主要考查了二次函数的综合题,此题涉及到的知识较多,有待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的判定与性质以及点到直线的距离等知识,解答本题的关键要掌握等腰三角形的判定,要注意的是(2)中不确定等腰三角形的腰是哪些线段时,要分类进行讨论,此题有一定的难度.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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