Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC=5，AB边上的高CD=4，点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交边AC或边BC于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求tanB的值．
（2）求点M落在边BC上时t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）边BC将正方形PQMN的面积分为两部分时，设这两部分的面积比为k，当0＜k≤$\frac{1}{3}$时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求AD的长，从而得BD的长，在Rt△BCD中，计算tan∠B的值即可；
（2）当点M落在BC边上时，如图1，根据AB=5列等式：3t+4t+2t=5，可求得t的值；
（3）分三种情况：
①当0＜t≤$\frac{5}{9}$时，如图1，正方形PQMN与△ABC重叠部分是正方形PQMN，
②当$\frac{5}{9}$＜t＜$\frac{5}{7}$时，如图3，正方形PQMN与△ABC重叠部分是五边形EQPNF，不符合题意；
③当$\frac{5}{7}$≤t＜1时，如图4，正方形PQMN与△ABC重叠部分是梯形EQPB，分别计算四边形的面积即可；
（4）分别计算当t=$\frac{5}{7}$和1时，边BC将正方形PQMN的面积分为两部分的面积的比，对比图形写出t的取值．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3，
∴BD=AB-AD=5-3=2，
∴在Rt△BCD中，tan∠B=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{4}{2}$=2；

（2）当点M落在BC边上时，如图1，
由题意得：AP=3t，
tan∠CAB=$\frac{CD}{AD}=\frac{4}{3}$，
∴PQ=PN=MN=4t，BN=2t，
∴3t+4t+2t=5，
t=$\frac{5}{9}$；

（3）分三种情况：
①当0＜t≤$\frac{5}{9}$时，如图1，正方形PQMN与△ABC重叠部分是正方形PQMN，
∴S=PQ²=（4t）²=16t²；
②当N与B重合时，如图2，
AP=3t，PQ=PB=4t，
∴3t+4t=5，
t=$\frac{5}{7}$，
当$\frac{5}{9}$＜t＜$\frac{5}{7}$时，如图3，正方形PQMN与△ABC重叠部分是五边形EQPNF，
③当$\frac{5}{7}$≤t＜1时，如图4，正方形PQMN与△ABC重叠部分是梯形EQPB，
∴AP=3t，PN=4t，
∴BN=7t-5，PB=4t-（7t-5）=-3t+5，
在Rt△APQ中，AQ=5t，
∴QC=5-5t，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵QE∥AB，
∴∠QEC=∠ABC，
∴∠QEC=∠ACB，
∴QE=QC=5-5t，
∴S=S_梯形QPBE=$\frac{1}{2}$（QE+PB）×PQ，
=$\frac{1}{2}$（5-5t+5-3t）×4t=-16t²+20t；
综上所述，S与t之间的函数关系式为：$\left\{\begin{array}{l}{16{t}^{2}（0＜t≤\frac{5}{9}）}\\{-16{t}^{2}+20t（\frac{5}{7}≤t＜1）}\end{array}\right.$．

（4）如图2，当t=$\frac{5}{7}$时，CQ=QG=5-5t=$\frac{10}{7}$，
∴GM=4t-$\frac{10}{7}$=$\frac{10}{7}$，
∴QG=GM，
∴S_△QGB=S_△GMB，
∴S_梯形GQPB：S_△GMB=3：1，
当P与D重合时，t=1，如图5，
则S_△CDB：S_{四边形CBNM}=$\frac{1}{2}$×2×4：（4²-$\frac{1}{2}$×2×4），
=1：3，
∴$\frac{5}{9}$＜t≤$\frac{5}{7}$，1≤t＜$\frac{5}{3}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和重叠部分的面积，比较复杂，此类题要先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，利用数形结合的思想，先确定重叠部分图形的形状，再求其面积．