解:(1)∵AB∥x轴,且抛物线同时经过A、B两点,
∴A、B关于抛物线的对称轴对称;
由于A(-4,2),故B(1,2);
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,得:
,解得
;
故抛物线解析式为
;
点B坐标为(1,2);
(2)∵A(-4,2),B(1,2),O(0,0),
∴AB=5,OA=2
,OB=
;
∴OB
2+OA
2=5+20=25=AB
2,
故△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∵∠AOC+∠CAO=90°,∴∠CAO=∠BOD;
若∠BDO=90°,则△ACO∽△ODB,此时D(1,0);
若∠OBD=90°,则△ACO∽△OBD,
∴
,得OD=5,
∴D(5,0);
(3)当线段A′B′的中点落在第二象限时,设A'B'与直线OA的交点为M,
∵∠A′OB′=90°,
∴A'M=OM,
∴∠MOA′=∠A′=∠A,
∴AB∥OA′;
∵AB∥x轴,
∴OA′与x轴重合;
此时A′(
,0),
,
则直线A′B′的函数
,
点P坐标为
.
当线段A′B′的中点落在第四象限时,同理P坐标为
.
分析:(1)由于AB∥x轴,根据抛物线的对称性知:点A、B关于抛物线的对称轴对称,由此可求得B点的坐标,然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数的值,从而确定该抛物线的解析式.
(2)根据A、B、O三点坐标,可求得OA、OB、AB的长,即可由勾股定理的逆定理判定△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°,即∠AOC、∠BOD互余,由此可得∠OAC=∠BOD;若△AOC与△BOD相似,则有两种情况:
①∠BDO=90°,此时BD⊥x轴,根据点B坐标即可得到点D的坐标;
②∠OBD=90°,此时△AOC∽△ODB,根据相似三角形所得比例线段即可求得D点的坐标.
(3)设直线OA与A′B′的交点为M,当点M在第二象限时,由于△A′OB′是由△AOB旋转而得,那么∠A′OB′=90°,在Rt△A′OB′中,若M是斜边A′B′的中点,那么A′M=OM,即∠MOA′=∠A′,由旋转的性质知∠A=∠A′,等量代换后可求得AB∥OA′,即A′在x轴上,由此可求得点A′、B′的坐标,进而可确定直线A′B′的解析式,联立直线AB的解析式,即可求得点P的坐标;当点M在第四象限时,也可能落在直线OA上,解法同上.
点评:此题主要考查二次函数的性质、解析式的确定、直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识.(3)题要仔细审题,注意关键词“直线OA”,不要遗漏点E在第四象限的情况.