Question

15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．若AB=$2\sqrt{6}$，∠BAC=30°，则图中阴影部分的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$-π．

Answer 1

分析 AD交⊙O于E，连结OE、OC、CE，如图，先利用等腰三角形的性质得∠BAC=∠ACO=30°，再根据切线的性质和平行线的判定得OC∥AD，则∠DAC=∠ACO=30°，根据圆周角定理有∠EOC=2∠DAC=60°，于是可判断△OCE为等边三角形，所以∠EOC=∠OCE=60°，CE=OC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{6}$接着在Rt△CDE中，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出DE和CD的长，然后根据他想和扇形的面积公式，利用S_阴影部分=S_梯形DEOC-S_扇形EOC进行计算即可．

解答 解：AD交⊙O于E，连结OE、OC、CE，如图，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO=30°，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO=30°，
∴∠EOC=2∠DAC=60°，
∵OC=OE，
∴△OCE为等边三角形，
∴∠EOC=∠OCE=60°，CE=OC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{6}$
在Rt△CDE中，∵∠DCE=90°-60°=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
CD=$\sqrt{3}$DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴S_阴影部分=S_梯形DEOC-S_扇形EOC
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\sqrt{6}$）×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\frac{60•π•（\sqrt{6}）^{2}}{360}$
=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$-π．
故答案为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$-π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．解决本题的关键是判断△OCE为等边三角形．