Question

根据所给的图形解答下列问题：
（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；
（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论．

Answer 1

分析：（1）、（2）根据图形旋转的性质及图形拼接前后面积不变画出图形即可；
（3）根据题意画出图形，先证出四边形EFGC是矩形，△AHB∽△GBC，由矩形的性质及相似三角形的性质可得出四边形EFGC是正方形，再由BH∥CE，HE∥BC，BH=CE可得EFGC是正方形，Rt△BAH≌Rt△CDE，S_△BAH=S_△CDE，根据EF∥CGEH∥CB可得出S_△EFH=S_△CGB，进而可得出结论．

解答：解：（1）如图1；

（2）如图2，M、N分别是HE、GF的中点；

（3）如图3，设AB=a，BC=b
①以点B为圆心，以BH=

ab

为半径画弧，交AD于H；
②过C点作CE∥BH交AD的延长线于E，过点C作CG⊥BH于点G；
③过E点作EF⊥CE于E，交BH的延长线于F，则正方形EFGC为所求．
证明：
易证四边形EFGC是矩形，
可证△AHB∽△GBC，
∴

AB

CG

=

BH

BC

，
∴

a

CG

=

ab

b

，CG=

ab

∴四边形EFGC是正方形．
∵BH∥CE，HE∥BC，
∴四边形BCEH是平行四边形．
∴BH=CE．
∴EFGC是正方形．
易证Rt△BAH≌Rt△CDE．
∴S_△BAH=S_△CDE．
∵EF∥CGEH∥CB，
∴∠FEH=∠GCB．
又∵∠EFH=∠CGB=90°，EF=CG，
∴△EFH≌△CGB．
∴S_△EFH=S_△CGB．
∴S_{正方形EFGC}=S_矩形ABCD．
∴四边形EFCG为所求．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全等三角形的判定与性质、正方形的性质及作图-应用与设计作图，熟知以上知识是解答此题的关键．