Question

4．如图所示，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC边上的高，试探究PE+PF与BD之间的数量关系．

Answer 1

分析 根据已知，过P作PG⊥CD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AB，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠CPG=∠ABC，再∠PEB=∠BGP=90°，CP=PC，则△CPE≌△PCG，所以得PE=CG②，①+②得出PE+PF=BD．

解答 证明：过P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AB\C，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴四边形PGDF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）；
又∵∠GDF=90°，
∴四边形PGDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴PF=GD（矩形的对边相等）①，
∵四边形PGDF是矩形，
∴PG∥DF，即PG∥AB，
∴∠BPG=∠B（两条直线平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等），
∴∠BPG=∠ABC（等量代换），
即∠BPG=∠PBE，
在△BPE和△PBG中$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠BGP=90°}\\{∠PBE=∠BPG}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△PBG（AAS），
∴PE=BG②，
①+②：PE+PF=BG+GD，
即PE+PF=BD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．