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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB8AD10ECD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AEBC的延长线于点G

1)求线段CE的长;

2)如图2MN分别是线段AGDG上的动点(与端点不重合),且∠DMN=∠DAM,设AMxDNy

写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;

是否存在这样的点M,使△DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.

【答案】13;(2yx2x+10y有最小值为2存在,810

【解析】

1)由翻折可知:ADAF10DEEF,求出BF,设ECx,则DEEF8x,在RtECF中,利用勾股定理构建方程即可解决问题;

2)①首先求出AGDG,∠ADM=∠NMG,证明ADM∽△GMN,可得,整理后根据二次函数的最值求解即可.

②存在.有两种情形:如图31中,当MNMD时.如图32中,当MNDN时,分别通过证明三角形相似,利用相似三角形的性质求解即可.

解:(1)如图1中,

∵四边形ABCD是矩形,

ADBC10ABCD8,∠B=∠BCD90°

由翻折可知:ADAF10DEEF

RtABF中,BF6

CFBCBF1064

CEx,则DEEF8x

RtEFC中,则有:(8x2x2+42

x3,即CE3.

2)①如图2中,

,

ADCG

CG6

BGBC+CG16

RtABG中,AG

RtDCG中,DG

ADDG10

∴∠DAG=∠AGD

∵∠DMG=∠DMN+NMG=∠DAM+ADM,∠DMN=∠DAM

∴∠ADM=∠NMG

∴△ADM∽△GMN

yx2x+10

∴当x4时,y有最小值,将x4代入可得,最小值=2

②存在,

由①可得∠DMN=∠DGM

∴∠DNM=∠DMG

∴∠DNM≠DMN

所以有两种情形:如图31中,当MNMD时,

∵∠MDN=∠GDM,∠DMN=∠DGM

∴△DMN∽△DGM

MNDM

DGGM10

xAM810

如图32中,当MNDN时,作MHDGH

MNDN

∴∠MDN=∠DMN

∵∠DMN=∠DGM

∴∠MDG=∠MGD

MDMG

MHDG

DHGH5

∵∠DAG=∠DGA,∠DAG=∠AGB

∴∠DGA=∠AGB

又∵∠MHG=∠ABG90°

∴△GHM∽△GBA

MG

xAM8

综上所述,满足条件的x的值为810

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