Question

【题目】如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD=3 ，BE=4，求EF的长；
（2）求证：CE= EF；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3 ，

∴AE=DE=3，

在Rt△BDE中，

∵DE=3，BE=4，

∴BD=5，

又∵F是线段BD的中点，

∴EF= BD=2.5

（2）

解：如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE= FE；

解法1：∵∠AED=∠ACB=90°

∴B、C、D、E四点共圆

且BD是该圆的直径，

∵点F是BD的中点，

∴点F是圆心，

∴EF=CF=FD=FB，

∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，

由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE，

∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°

∴∠ECF=45°=∠CEF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE= EF．

解法2：∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°，

∵点F是BD的中点，

∴CF=EF=FB=FD，

∵∠DFE=∠ABD+∠BEF，∠ABD=∠BEF，

∴∠DFE=2∠ABD，

同理∠CFD=2∠CBD，

∴∠DFE+∠CFD=2（∠ABD+∠CBD）=90°，

即∠CFE=90°，

∴CE= EF．

2）（1）中的结论仍然成立．

（3）

解：解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，

∵∠ACB=∠AED=90°，

∴DE∥BC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EDF和△GBF中，

，

∴△EDF≌△GBF，

∴EF=GF，BG=DE=AE，

∵AC=BC，

∴CE=CG，

∴∠EFC=90°，CF=EF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∴CE= FE；

解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，

∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°，

又∵点F是BD的中点，

∴FA=FB=FD，

在△ACF和△BCF中，

，

∴△ACF≌△BCF，

∴∠ACF=∠BCF= ∠ACB=45°，

∵FA=FB，CA=CB，

∴CF所在的直线垂直平分线段AB，

同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，

又∵DA⊥BA，

∴EF⊥CF，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴CE= EF．

【解析】（1）由AE=DE，∠AED=90°，AD=3 ，可求得AE=DE=3，在Rt△BDE中，由DE=3，BE=4，可知BD=5，又F是线段BD的中点，所以EF= BD=2.5；（2）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF= EF；（3）思路同（1）．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此得出结论．