对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式.但对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2,使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变,于是有:
x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2
=(x+a)2-(2a)2
=(x+3a)(x-a).
像这样,先添一适当项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
(1)利用“配方法”分解因式:
①a2-6a-7;
②a4+a2b2+b4.
(2)若a+b=5,ab=6,求:
①a2+b2;
②a4+b4的值.
解:(1)利用“配方法”分解因式:
①a2-6a-7
=a2-6a+9-9-7
=(a-3) 2-16
=(a-3+4)(a-3-4)
=(a+1)(a-7);
②a4+a2b2+b4,
=a4+a2b2+b4+a2b2-a2b2,
=a4+2a2b2+b4-a2b2,
=(a2+b2)2-a2b2,
=(a2+b2-ab)(a2+b2+ab);
(2)若a+b=5,ab=6,求:
①a2+b2=(a+b) 2-2ab,
将a+b=5,ab=6代入上式得:
原式=5 2-2×6=25-12=13;
②a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2,
=132-2×62,
=97.
分析:(1)①前两项加9再减9,可以组成完全平方式;
②利用原式加上a2b2,再减去a2b2,由完全平方公式即可;
(2)①加2ab再减2ab可以组成完全平方式;
②在①得基础上,加2a2b2再减2a2b2,可以组成完全平方式.
点评:本题考查十字相乘法分解因式,配方法是数学习题里经常出现的方法,应熟练掌握.