Question

20．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F，
（1）请写出四条与BC有关的正确结论；
（2）若⊙O的半径为5，CD=8，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）直接根据垂径定理即可得出结论；
（2）连接OC，利用垂径定理与勾股定理求得OE，得出AE，再利用勾股定理求得AC，进一步利用垂径定理与勾股定理求得答案即可．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AC⊥BC，BC=BD．
∵OF⊥AC，
∴OF∥BC，
∵△ABC是直角三角形，
∴BC²=CE²+BE²．

（2）如图，连接OC，

∵CD⊥AB，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=3，
∴AE=5+3=8，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵OF⊥AC，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∴OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是垂径定理，勾股定理的运用，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．