Question

已知在直角坐标平面中，抛物线交x轴于点A﹙-1，0﹚，B﹙3，0﹚，交y轴于点C﹙0，3﹚，点P是抛物线上点C、B之间的一个动点．求当点P运动到何处时，△PBC的面积最大并求出最大面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的最值

专题：

分析：利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB进而利用x表示出三角形的面积，即可利用二次函数最值得出答案．

解答：解：设抛物线解析式为：y=a（x+1）（x-3）（a是常数，且a≠0）．
把点C（0，3）代入，得
3=a（0+1）（0-3），
解得 a=-1．
则抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-（x-1）²+4．
如图，连接PO，则S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB．
S_△OCB=

CO×BO

2

=

3×3

2

=

9

2

．
设P（x，y），
∵P在抛物线的第一象限；
∴S_△PBO=

1

2

×3×|-（x-1）²+4|=-

3

2

（x-1）²+6；
S_△PCO=

1

2

×3x=

3x

2

，
S_△PBC=-

3

2

（x-1）²+6+

3x

2

-

9

2

=-

3

2

x²+

9

2

x=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

；
∵0＜x＜3，
∴当x=

3

2

时；S_最大值=

27

8

．
则P（

3

2

，

15

4

）．
综上所述，点P的坐标是（

3

2

，

15

4

），△PBC的面积最大值是

27

8

．

点评：此题主要考查了顶点式求出二次函数解析式以及三角形面积求法和二次函数最值问题等知识，利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB得出是解题关键．