Question

如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足

a+1

+(a+b+3)2=0，?ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=

k

x

经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线y=

k

x

上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，

MN

HT

的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

Answer 1

（1）∵

a+1

+（a+b+3）2=0，且

a+1

≥0，（a+b+3）²≥0，
∴

a+1=0 a+b+3=0

，
解得：

a=-1 b=-2

，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∵E为AD中点，
∴x_D=1，
设D（1，t），
又∵DC∥AB，
∴C（2，t-2），
∴t=2t-4，
∴t=4，
∴k=4；

（2）∵由（1）知k=4，
∴反比例函数的解析式为y=

4

x

，
∵点P在双曲线y=

k

x

上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，

4

x

），
①当AB为边时：
如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则

-1+x

2

=0，解得x=1，此时P₁（1，4），Q₁（0，6）；
如图2所示；若ABQP为平行四边形，则

-1

2

=

x

2

，解得x=-1，此时P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）；
②如图3所示；当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；
∴

-1

2

=

x

2

，解得x=-1，
∴P₃（-1，-4），Q₃（0，2）；
故P₁（1，4），Q₁（0，6）；P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）；P₃（-1，-4），Q₃（0，2）；

（3）连NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT=NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF=∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
∵

BF=BH ∠ABF=∠ABH BN=BN

，
∴△BFN≌△BHN，
∴NF=NH=NT，
∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH=360°-180°-90°=90°．
∴MN=

1

2

HT，
∴

MN

HT

=

1

2

．