Question

图（1）为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图（2）．已知展开图中每个正方形的边长为1．
（1）求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条．
（2）试比较立体图中∠ABC与平面展开图中∠A′B′C′的大小关系．

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题

专题：

分析：（1）由长方形中最长的线段为对角线，从而可根据已知运用勾股定理求得最长线段的长，又因为展开图形中有两个长方形，每个长方形有两条对角线，知这样的线段可画4条；
（2）要确定角的大小关系，一般把两个角分别放在两个三角形中，然后根据三角形的特点或者全等或者相似形来解．

解答：解：（1）在平面展开图中可画出最长的线段长为

10

，
如图（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，
A′C′=

C′D′2+A′D′2

=

1+9

=

10

．
答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）；


（2）∵立体图中∠ABC为平面等腰直角三角形的直角，∴∠ABC=90°．
在平面展开图中，连接线段B′C′，由勾股定理可得：A′B′=

5

，B′C′=

5

，
又∵A′B′²+B′C′²=A′C′²，
由勾股定理的逆定理可得△A′B′C′为直角三角形，
又∵A′B′=B′C′，∴△A′B′C′为等腰直角三角形，
∴∠A′B′C′=90°，
∴∠ABC与∠A′B′C′相等．

点评：本题综合考查了平面展开-最短路径问题，等腰直角三角形，勾股定理的知识，是一道综合性比较强的题，难度中等．