分析 (1)判定函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上为“相邻函数”,利用给定的证明过程,将y1=3x+1、y2=2x-1替换成y1=3x+2、y2=2x+1即可得出结论;
(2)将两函数解析式做差,找出y1-y2=(x-1)2+a-1,结合二次函数的性质找出其最大值与最小值,再根据“相邻函数”的定义即可得出关于a的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论;
(3)根据一次函数与反比例函数的单调性,分别找出当x=1、x=2时,y1、y2的值,再根据“相邻函数”的定义即可得出关于a的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.
解答 解:(1)函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上为“相邻函数”,理由如下:
点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点,
当-2≤x≤0时,y1-y2=(3x+2)-(2x+1)=x+1,
通过构造函数y=x+2并研究它在-2≤x≤0上的性质,得到该函数值的范围是-1≤y≤1,
所以-1≤y1-y2≤1,
因此这两个函数在-2≤x≤0上是“相邻函数”.
(2)y1-y2=(x2-x)-(x-a)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1.
∵函数y=x2-x与y=x-a在0≤x≤2上是“相邻函数”,
∴|y1-y2|≤1.
由二次函数的性质可知:
当x=0时,y1-y2有最大值a,
当x=1时,y1-y2有最小值a-1.
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{-1≤a-1≤1}\end{array}\right.$,解得:0≤a≤1.
(3)一次函数y1=-2x+4在1≤x≤2上是减函数,
当x=1时,y1=2;当x=2时,y1=0,
当x=1时,y2=a;当x=2时,y2=$\frac{a}{2}$.
∵-1≤y1-y2≤1,
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2-a≤1}\\{-1≤0-\frac{a}{2}≤1}\end{array}\right.$,解得:1≤a≤2.
∴若函数y=$\frac{a}{x}$与y=-2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,a的最大值为2,a的最小值为1.
点评 本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的最值问题,解题的关键是:(1)构造函数y=x+2,利用一次函数的性质解决问题;(2)由“相邻函数”的性质得出关于a的一元一次不等式;(3)由“相邻函数”的性质得出关于a的一元一次不等式.本题属于中档题,难度不大,但较繁琐,解决该题型题目时,结合给定的新定义,找出关于函数系数a的方程(不等式或不等式组)是关键.
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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A. | B. | C. | D. |
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