Question

5．如图，点P（x，y₁）与Q（x，y₂）分别是两个函数图象C₁与C₂上的任一点，当a≤x≤b时，有-1≤y₁-y₂≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”．否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y₁）与Q（x，y₂）分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点，当-3≤x≤-1时，y₁-y₂=（3x+1）-（2x-1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在-3≤x≤-1上的性质，得到该函数值的范围是-1≤y≤1，所以-1≤y₁-y₂≤1，因此这两个函数在-3≤x≤-1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y=x²-x与y=x-a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；
（3）若函数y=$\frac{a}{x}$与y=-2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）判定函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上为“相邻函数”，利用给定的证明过程，将y₁=3x+1、y₂=2x-1替换成y₁=3x+2、y₂=2x+1即可得出结论；
（2）将两函数解析式做差，找出y₁-y₂=（x-1）²+a-1，结合二次函数的性质找出其最大值与最小值，再根据“相邻函数”的定义即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论；
（3）根据一次函数与反比例函数的单调性，分别找出当x=1、x=2时，y₁、y₂的值，再根据“相邻函数”的定义即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

解答 解：（1）函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上为“相邻函数”，理由如下：
点P（x，y₁）与Q（x，y₂）分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点，
当-2≤x≤0时，y₁-y₂=（3x+2）-（2x+1）=x+1，
通过构造函数y=x+2并研究它在-2≤x≤0上的性质，得到该函数值的范围是-1≤y≤1，
所以-1≤y₁-y₂≤1，
因此这两个函数在-2≤x≤0上是“相邻函数”．
（2）y₁-y₂=（x²-x）-（x-a）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1．
∵函数y=x²-x与y=x-a在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴|y₁-y₂|≤1．
由二次函数的性质可知：
当x=0时，y₁-y₂有最大值a，
当x=1时，y₁-y₂有最小值a-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{-1≤a-1≤1}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤1．
（3）一次函数y₁=-2x+4在1≤x≤2上是减函数，
当x=1时，y₁=2；当x=2时，y₁=0，
当x=1时，y₂=a；当x=2时，y₂=$\frac{a}{2}$．
∵-1≤y₁-y₂≤1，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2-a≤1}\\{-1≤0-\frac{a}{2}≤1}\end{array}\right.$，解得：1≤a≤2．
∴若函数y=$\frac{a}{x}$与y=-2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，a的最大值为2，a的最小值为1．

点评 本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的最值问题，解题的关键是：（1）构造函数y=x+2，利用一次函数的性质解决问题；（2）由“相邻函数”的性质得出关于a的一元一次不等式；（3）由“相邻函数”的性质得出关于a的一元一次不等式．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，结合给定的新定义，找出关于函数系数a的方程（不等式或不等式组）是关键．