【题目】已知;如图1,菱形ABCD的边AB在x轴上,点B的坐标为,点C在y轴上,.
(1)求点A的坐标;
(2)如图2,连接AC,点P为△ACD内一点,BP与AC交于点G,,点E、F分别在线段AP、BP上,且.若,求的值;
(3)如图3,在(2)的条件下,当时,试判断△PAF形状并说明理由.
【答案】(1)A(﹣,0).(2)49.(3)见解析
【解析】
(1)利用勾股定理求出BC,再根据菱形的性质进行计算即可解决问题;
(2)如图2中,连接CE、CF.先证明△ABC是等边三角形,得到∠ACB=60°,再求得△CEF是等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠AFC =90°,再由勾股定理得到AF2+CF2=AC2=49;
(3)如图3中,延长CE交FA的延长线于H,作PQ⊥AB于Q,PK⊥OC于K,在BP设截取BT=PA,连接AT、CT、CF、PC,根据等边三角形的性质,结合题意得到△CPE≌△HAE,再结合题意由全等三角形的性质得到△ACP≌△BCT,根据全等三角形的性质得到△CPT是等边三角形,再根据题意即可证明△APF是等边三角形.
(1)如图1中,
∵y=-﹣x+,
∴B(,0),C(0,),
∴BO=,OC=,
在Rt△OBC中,BC==7,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=7,
∴OA=AB-OB=7-=,
∴A(-,0).
(2)如图2中,连接CE、CF.
∵OA=OB,CO⊥AB,
∴AC=BC=7,
∴AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠APB=60°,
∴∠APB=∠ACB,
∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB,
∴∠PAG=∠CBG,∵AE=BF,
∴△ACE≌△BCF,
∴CE=CF,∠ACE=∠BCF,
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°,
∴△CEF是等边三角形,
∴∠CFE=60°,EF=FC,
∵∠AFE=30°,
∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°,
在Rt△ACF中,AF2+CF2=AC2=49,
∴AF2+EF2=49.
(3)如图3中,延长CE交FA的延长线于H,作PQ⊥AB于Q,PK⊥OC于K,在BP设截取BT=PA,连接AT、CT、CF、PC.
∵△CEF是等边三角形,
∴∠CEF=60°,EC=CF,
∵∠AFE=30°,∠CEF=∠H+∠EFH,
∴∠H=∠CEF-∠EFH=30°,
∴∠H=∠EFH,
∴EH=EF,
∴EC=EH,
∵PE=AE,∠PEC=∠AEH,
∴△CPE≌△HAE,
∴∠PCE=∠H,
∴PC∥FH,
∵∠CAP=∠CBT,AC=BC,
∴△ACP≌△BCT,
∴CP=CT,∠ACP=∠BCT,
∴∠PCT=∠ACB=60°,
∴△CPT是等边三角形,
∴CT=PT,∠CPT=∠CTP=60°,
∵CP∥FH,
∴∠HFP=∠CPT=60°,
∵∠APB=60°,
∴△APF是等边三角形.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=10cm,BC=8cm,E为AB的中点,点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动;同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动,当点Q的速度为多少时,能够使△BPE和△CQP全等?
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【题目】如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交y轴于点A,交x轴于点B,S△AOB=8.
(1)求点B的坐标和直线AB的函数表达式;
(2)直线a垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线a上一动点,且在点D的上方,设点P的纵坐标为m.
①用含m的代数式表示△ABP的面积;
②当S△ABP=6时,求点P的坐标.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,E在正方形外,,过D作于H,直线DH,EC交于点M,直线CE交直线AD于点,则下列结论正确的是( )
①;②;③;④若PD=3AD,则MD=
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)证明四边形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD 的面积.
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【题目】下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
= y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2 (第三步)
=(x2-4x+4)2 (第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?________.(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(3m+1)x+2m2+m(m>0),与y轴交于点C,与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2.
(1)求2x1﹣x2+3的值;
(2)当m=2x1﹣x2+3时,将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边),求n的取值范围(直接写出答案即可).
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【题目】动手操作:
如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.
问题解决:
(1)若∠ACD=78°,求∠MAB的度数;
(2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证:△CAN≌△CMN.
实验探究:
(3)直接写出当∠CAB的度数为多少时?△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.
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