Question

10．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x-h）²+k的伴随直线为y=a（x-h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）²-3的伴随直线为y=2（x+1）-3，即y=2x-1．
（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）²-4的顶点坐标为（-1，-4），伴随直线为y=x-3，抛物线y=（x+1）²-4与其伴随直线的交点坐标为（0，-3）和（-1，-4）；
（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x-1）²-4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．
①若∠CAB=90°，求m的值；
②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值$\frac{27}{4}$时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；
（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC²、AB²和BC²，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．

解答 解：
（1）∵y=（x+1）²-4，
∴顶点坐标为（-1，-4），
由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）-4，即y=x-3，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=（x+1）^{2}-4}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴其交点坐标为（0，-3）和（-1，-4），
故答案为：（-1，-4）；y=x-3；（0，-3）；（-1，-4）；
（2）①∵抛物线解析式为y=m（x-1）²-4m，
∴其伴随直线为y=m（x-1）-4m，即y=mx-5m，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=m（x-1）^{2}-4m}\\{y=mx-5m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3m}\end{array}\right.$，
∴A（1，-4m），B（2，-3m），
在y=m（x-1）²-4m中，令y=0可解得x=-1或x=3，
∴C（-1，0），D（3，0），
∴AC²=4+16m²，AB²=1+m²，BC²=9+9m²，
∵∠CAB=90°，
∴AC²+AB²=BC²，即4+16m²+1+m²=9+9m²，解得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（抛物线开口向下，舍去）或m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴当∠CAB=90°时，m的值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（2，-3m），C（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-3m}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-m}\\{b=-m}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-mx-m，
过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，

∵点P的横坐标为x，
∴P（x，m（x-1）²-4m），Q（x，-mx-m），
∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，
∴PQ=m（x-1）²-4m+mx+m=m（x²-x-2）=m[（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$]，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$×[（2-（-1）]PQ=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{27}{8}$m，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，△PBC的面积有最大值-$\frac{27}{8}$m，
∴S取得最大值$\frac{27}{4}$时，即-$\frac{27}{8}$m=$\frac{27}{4}$，解得m=-2．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．