Question

平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部．试说明∠BPD=∠B-∠D；
（2）将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明你的结论成立的理由；
（3）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）

Answer 1

分析：（1）由AB∥CD，根据平行线的性质，易得∠1=∠B，又由三角形外角的性质可得：∠1=∠D+∠BPD，继而求得答案；
（2）首先过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，可得∠1=∠B，∠2=∠D，继而证得∠BPD=∠B+∠D．
（3）首先连接QP，并延长到E，利用三角形外角的性质，可证得∠BPD=∠1+∠2=∠BQP+∠B+∠DQP+∠D=∠B+∠D+∠BQD．

解答：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠BPD+∠D，
∴∠BPD=∠B-∠D；

（2）不成立．∠BPD=∠B+∠D．
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；

（3）连接QP，并延长到E，
∵∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠BQP+∠B+∠DQP+∠D=∠B+∠D+∠BQD．

点评：此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．