Question

11．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC上一点（不与B、C重合），点P在边CD上运动，M、N分别是AE、PE的中点，线段MN长度的最大值是$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由条件可先求得MN=$\frac{1}{2}$AP，则可确定出当P点运动到点C时，PA有最大值，即可求得MN的最大值．

解答 解：
∵M为AE中点，N为EP中点，
∴MN为△AEP的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AP．
若要MN最大，则使AP最大．
∵P在CD上运动，当P运动至点C时PA最大，
此时PA=CA是矩形ABCD的对角线，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴MN的最大值=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$，
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理，由条件确定出当MN有最大值时P点的位置是解题的关键．