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6.若二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0),且在x轴下方,对于以下说法:①b2-4ac>0②方程ax2+bx+c=y0的解是x=x0③当x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$时,y0的值最小④(x0-x1)(x0-x2)<0,其中正确的序号是①③④.

分析 利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;当M点不是顶点式,方程ax2+bx+c=y0的解有两个,则可对②进行判断;根据抛物线的对称性,当x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$时,M点为顶点,则可对③进行判断;利用x1<x0,x0<x2可对④进行判断.

解答 解:∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点分别为(x1,0),(x2,0),
∴△=b2-4ac>0,所以①正确;
∵点M(x0,y0)在二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象上,
∴x=x0为方程ax2+bx+c=y0的解,所以②错误;
∵x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
∴抛物线的对称轴为直线x=x0
∴点M(x0,y0)为抛物线的顶点,
∴y0的值最小,所以③正确;
∵x1<x2,点M(x0,y0)在x轴下方,
∴x1<x0,x0<x2
∴(x0-x1)(x0-x2)<0,所以④正确.
故答案为①③④.

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

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