Question

9．如图1，抛物线y=a（x-3）²（a＞0）与x轴相交于点M，与y轴相交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，交对称轴于点N，以AB为边向下作等边三角形ABC．
（1）求CN的长度；
（2）当a=3时，求直线BC的解析式；
（3）点D是抛物线BM段上的一任意点，连结CD和BD，延长BD交对称轴于E点．
①如图2，若点A、C、D三点在一条直线上，当△CBD的面积是△CDE的面积的2倍时，求a的值；
②如图3，若CD∥AB，当$\frac{CM}{ME}$=$\frac{1}{2}$时，请直接写出a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知抛物线的对称轴为x=3，故此可得到AB=6，然后依据NC=AC•sin60°求解即可；
（2）当a=3时，y=3（x-3）²，然后可求得B、C两点的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（3）①过点D作DF⊥MN，垂足为F，则DF∥NB．先证明△DEF∽△BEN，从而可得到$\frac{DE}{BD}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{DF}{BN}=\frac{ED}{BE}$=$\frac{1}{3}$，然后可求得DF的长为1，然后求得点N和点F的坐标，最后依据FC=$\sqrt{3}$FD列方程求解即可；
②设CD=m，则点D的纵坐标为m²a，即CM=m²a，依据题意可得到ME=2m²a，最后依据$\frac{CE}{EN}$=$\frac{CD}{BN}$列出关于m的方程可求得m的值，依据MC=NM-NC=m²a列出关于a的方程进行求解即可．

解答 解：（1）y=a（x-3）²，
∴抛物线的对称轴为x=3，
∵点A与点B关于x=3对称，
∴AB=6．
∵△ABC为等边三角形，AB=6，
∴AC=6，∠NAC=60°．
∴NC=AC•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

（2）当a=3时，y=3（x-3）²．
把x=0代入得：y=27，
∴点B的坐标为（6，27）．
∴点C的坐标为（3，27-3$\sqrt{3}$）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=27}\\{3k+b=27-3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：k=$\sqrt{3}$，b=27-6$\sqrt{3}$，
∴直线BC的解析式为y=$\sqrt{3}$x+27-6$\sqrt{3}$．

（3）①过点D作DF⊥MN，垂足为F，则DF∥NB．

∵DF∥BN，
∴△DEF∽△BEN，
∴$\frac{DF}{BN}$=$\frac{DE}{BE}$．
∵S_△CBD=2S_△CDE，
∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{1}{2}$即$\frac{DF}{BN}=\frac{ED}{BE}$=$\frac{1}{3}$．
∴DF=1，即D的坐标为（4，a），
∴F（3，a）．
将x=0代入抛物线的解析式得：y=9a，
∴N（3，9a）．
∴CF=9a-a-3$\sqrt{3}$．
∵∠CDF=60°．
∴CF=$\sqrt{3}$DF，即9a-a-3$\sqrt{3}$=8a-3$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

②设CD=m，则点D的纵坐标为m²a，即CM=m²a．
∵$\frac{CM}{EN}$=$\frac{1}{2}$，
∴ME=2m²a．
∵CD∥AB，
∴$\frac{CE}{EN}$=$\frac{CD}{BN}$即$\frac{3{m}^{2}a}{2{m}^{2}a+9a}$=$\frac{m}{3}$．
∵m≠0，a≠0，
∴2m²-9m+9=0，解得m=$\frac{3}{2}$或m=3（舍去）．
∴$\frac{9}{4}$a=9a-3$\sqrt{3}$，解得：a=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的对称性、等边三角形的性质、特殊锐角三角函数、相似三角形的性质和判定，依据题意得出相关线段的比例关系，然后列出关于m或a的方程是解题的关键．