Question

如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．
（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）

Answer 1

分析：（1）因为D为BC的中点，还能推出DF∥BG，从而可知道DF是BG的中位线，从而可得解．
（2）作辅助线，延长FD到M点，使FM=BG，证明是矩形，和三角形全等就可以证明．
（3）可以得出BG=DE-DF．

解答：解：（1）∵DF⊥AC，BG⊥AC，
∴DF∥BG，
∵D是BC的中点，
∴DF=

1

2

BG=

b a2-4b2

4a

．
连接AD，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=

b a2-4b2

4a

．
∴DE+DF=

b a2-4b2

2a

．
∴DE+DF=BG．

（2）延长FD，使FM=BG，
∵DF⊥AC，BG⊥AC，
∴四边形BMFG是矩形，
∴BG=MF，
∵∠EDB+∠ABD=90°，∠FDC+∠C=90°，∠ABC=∠C，
∴∠EDB=∠FDC，
∵∠FDC=∠BDM，
∴∠EDB=∠BDM．
∵∠BED=∠BMD，BD=BD，
∴△EBD≌△MBD，
∴ED=MD．
∴BG=DE+DF．

（3）BG=DE-DF．

点评：本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等以及全等三角形的判定和性质定理等知识点．