Question

如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请用三种不同的方法证明：OE=OF．

Answer 1

分析：证法一：连接OA、OB，证明三角形全等即可；
证法二：过O作AB的弦心距，利用垂径定理证明即可；
证法三：延长CO、DO与圆交于G、H，利用相交弦定理．

解答：解：法一：
连接OA、OB，如图示，
∵OA=OB，
∴∠OAE=∠OBF，
又AE=BF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴OE=OF；

法二：
作OM⊥AB于M，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM，∠EMO=∠FMO=90°，
∵AE=BF，
∴EM=FM，
又OM=OM，
∴△OEM≌△OFM，
∴OE=OF；

法三：
延长CO、DO与圆交于G、H，
由相交弦定理知，
AE•BE=CE•EG，
BF•AF=DF•HF，
∵AE=BF，
∴AF=BE，
∴CE=DF，
∴OE=OF．

点评：本题综合考查了垂径定理、相交弦定理以及全等三角形的判定，熟记定理并灵活应用定理是解题的关键．