Question

9．如图，四边形ABCD为边长为10的正方形，顶点A、B分别在x轴、y轴上，点B、E关于x轴对称，点F在x轴上且OE=OF，若点D为EF的中点．
（1）求直线AE的解析式；
（2）连FC，求线段FC的长；
（3）连BD交x轴于G，作GN⊥AG交BC于N，点DC与x轴交于点M，连MN，求证：MN=BN+DM．

Answer 1

分析 （1）取OF的中点为H，连接DH，则可证得△AHD≌△EOA，则可求得AO和OE的长，即可求得A、E的坐标，利用待定系数法可求得直线AE解析式；
（2）连接OD，可证明△ODA≌△FDC，则可得FC=OA，可求得FC的长；
（3）作GK⊥AB于K，GQ⊥BC于Q，可证明△AKG≌△GQN，延长NB到P使BP=DM，可证明△ABP≌△ADM，进一步可证△PAN≌△MAN，利用全等三角形的性质，可得出结论．

解答 解：
（1）如图1，取OF的中点H，连DH，

则DH为△EOF的中位线，
∴DH=OH=HF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AD=BC，
∴∠BAO+∠DAH=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠DAO，
∵B、E关于x轴对称，
∴∠ABO=∠AEO，AB=AE，
∴∠AEO=∠DAH，AD=AE，
在△AHD和△EOA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠AOE}\\{∠DAH=∠AEO}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△AHD≌△EOA（AAS），
∴OA=DH=HF=OH，OE=AH，
∴OE=2AO，
∵AE=10，
∴AO=$2\sqrt{5}$，OE=$4\sqrt{5}$，
即A（-$2\sqrt{5}$，0），E（0，$4\sqrt{5}$），
∴可设直线AE解析式为y=kx+4$\sqrt{5}$，
∴-2$\sqrt{5}$k+4$\sqrt{5}$=0，解得k=2，
∴直线AE的解析式为$y=2x+4\sqrt{5}$；
（2）如图2，连接OD，

∵∠ODF=∠ADC=90°，
∴∠ODA=∠FDC，
在△ODA和△FDC中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=DF}\\{∠ODA=∠FDC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$
∴△ODA≌△FDC（SAS），
∴FC=OA=$2\sqrt{5}$；
（3）如图3，作GK⊥AB于K，GQ⊥BC于Q，

∵点G在正方形ABCD的对角线上，
∴GK=GQ，
∵∠AGK+∠KGN=∠KGN+∠NGQ=90°，
∴∠AGK=∠NGQ，
在△AKG和△GQN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AKG=∠GQN}\\{KG=QG}\\{∠AGK=∠NGQ}\end{array}\right.$
∴△AKG≌△GQN（ASA），
∴AG=GN，
∴∠GAN=45°，
延长NB到P使BP=DM，
在△ABP和△ADM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABP=∠ADM}\\{BP=DM}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△ADM（SAS），
∴AM=AP，∠PAB=∠MAD，
∴∠PAN=∠PAB+∠BAN=∠MAD+∠BAN=∠GAN=45°，
∴△PAN≌△MAN，
∴MN=PN=BN+DM．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得A、E的坐标是解题的关键，在（2）中证得△ODA≌△FDC是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．