Question

8．已知，A（1，-4），B（3，0），y轴上存在点Q，使△ABQ是以AB为直角边的直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 设点Q的坐标（0，m），根据两点间的距离公式得到AB²=（1-3）²+（-4-0）²=20，AQ²=（1-0）²+（-4-m）²=m²+8m+17，BQ²=（3-0）²+（0-m）²，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：设点Q的坐标（0，m），
∵A（1，-4），B（3，0），
∴AB²=（1-3）²+（-4-0）²=20，AQ²=（1-0）²+（-4-m）²=m²+8m+17，BQ²=（3-0）²+（0-m）²，
∵△ABQ是以AB为直角边的直角三角形，
∴AQ²+BQ²=AB²，
即m²+8m+17+（3-0）²+（0-m）²=20，
解得：m=1，m=3，
∴点Q的坐标为（0，1）或（0，3）．

点评 本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．