Question

7．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P、Q分别从点A、点B同时出发，相向而行，速度都为1cm/s．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设运动时间为t（0≤t≤2，单位：s），正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S（cm²）．
（1）当t=1s时，点P与点Q重合．
（2）当t=$\frac{4}{5}$s时，点D在QF上．
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此列一元一次方程求出t的值；
（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP=BQ=t．由相似三角形比例线段关系可得PQ=$\frac{1}{2}$t，从而由关系式AP+PQ+BQ=AB=2，列一元一次方程求出t的值；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：
①当1＜t≤$\frac{4}{3}$时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S；
②当$\frac{4}{3}$＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．面积S由关系式“S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN”求出．

解答 解：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故答案：1．

（2）当点D在QF上时，如图1所示，此时AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE为正方形，
∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，
则PQ=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t．
由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+$\frac{1}{2}$t+t=2，
解得：t=$\frac{4}{5}$．
故答案：$\frac{4}{5}$．

（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；
当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=$\frac{1}{2}$t，
求得t=$\frac{4}{3}$s，进一步分析可知此时点E与点F重合；
当点P到达B点时，此时t=2．
因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：
①当1＜t≤$\frac{4}{3}$时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．
此时AP=BQ=t，
∴AQ=2-t，PQ=AP-AQ=2t-2；
易知△ABC∽△AQF，
可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF-AE=2（2-t）-t=4-3t，EG=$\frac{1}{2}$EF=2-$\frac{3}{2}$t，
∴DG=DE-EG=t-（2-$\frac{3}{2}$t）=$\frac{5}{2}$t-2．
S=S_梯形PDGQ=$\frac{1}{2}$（PQ+DG）•PD，
=$\frac{1}{2}$[（2t-2）+（$\frac{5}{2}$t-2）]•t，
=$\frac{9}{4}$t²-2t；
②当$\frac{4}{3}$＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．
此时AP=BQ=t，
∴AQ=PB=2-t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，
可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=4-2t，PM=4-2t．
又∵DM=DP-PM=t-（4-2t）=3t-4，
∴DN=$\frac{1}{2}$（3t-4）=$\frac{3}{2}$t-2，DM=3t-4．
S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN=AP²-$\frac{1}{2}$AQ•AF-$\frac{1}{2}$DN•DM
=t²-$\frac{1}{2}$（2-t）（4-2t）-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（3t-4）×（3t-4）
=-$\frac{9}{4}$t²+10t-8．
综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4}{t}^{2}-2t（1＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-\frac{9}{4}{t}^{2}+10t-8（\frac{4}{3}＜t＜2）}\end{array}\right.$．

点评 此题主要考查了相似形综合题，函数解析式的求法，分析推理能力、空间想象能力的应用，分类讨论思想的应用，行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．