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【题目】如图,在矩形ABCD中,EF分别是ABAD的中点,连接ACECEFFC,且ECEF

(1)求证:△AEF∽△BCE

(2)若AC=2,求AB的长;

(3)在(2)的条件下,△ABC的外接圆圆心与△CEF的外接圆圆心之间的距离为   

【答案】1)见解析;(22;(3

【解析】

1)利用同角的余角判断出∠AFE=∠BEC,即可得出结论;

2)设AExAFy,则BExAB2xBCAD2y,进而利用AEFBCE,得出,即x22y2①,再用勾股定理得出(2x2+2y2=(22,即x2+y23②,联立①②即可得出结论;

3)先判断出ABC的外接圆的圆心是AC的中点与CEF的外接圆的圆心为CF的中点,进而得出MNAF的一半,再用勾股定理求出AD,进而得出AF,即可得出结论.

1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴∠EAF=∠CBE90°

∴∠AEF+AFE90°

ECEF

∴∠FEC90°

∴∠AEF+BEC90°

∴∠AFE=∠BEC

∵∠EAF=∠CBE90°

∴△AEF∽△BCE

2)∵四边形ABCD是矩形,

ADBC

EF分别是ABAD的中点

AEBEAD

AExAFy

BExAB2xBCAD2y

∵△AEFBCE

x22y2①,

∵∠B90°

AB2+BC2AC2

∴(2x2+2y2=(22

x2+y23②,

由①②得,(舍)或(舍)或(舍)或

AEAF1

∵点EAB的中点,

AB2AE2

3)解:如图,

∵∠CEF90°

∴△CEF是直角三角形,

∴△CEF的外接圆的圆心是斜边CF的中点,记作点M

CMFM

∵四边形ABCD是矩形,

ADBC,∠ABC90°

∴△ABC是直角三角形,

∴△ABC的外接圆的圆心是斜边AC的中点,记作N

ANCN

CMFM

MNAF

由(2)知,AB2

AC2

根据勾股定理得,BC2

AD2

∵点FAD的中点,

AFAD1

MNAF

故答案为:

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(2)AEF∽△ABE.

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