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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
    （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
    （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为
    65
    ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
    （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）已知三点，可用待定系数法求出二次函数解析式；
    （2）关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解；
    （3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性．
    解答：精英家教网解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
    ∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
    ∴AD=BC．AD=2．
    ∴E（0，1）．（1分）
    设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
    将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，
    得
    4a+2b+1=2
    9a+3b+1=0
    （2分）
    解这个方程组，得
    a=-
    5
    6
    b=
    13
    6

    故抛物线的解析式为y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+1；（3分）

    （2）EF=2GO成立．（4分）
    ∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为
    6
    5
    ，
    ∴点M的纵坐标为
    12
    5
    ．（5分）
    设DM的解析式为y=kx+b1（k≠0），将点D、M的坐标分别代入，
    得
    2k+b1=2
    6
    5
    k+b1=
    12
    5
    ，
    解得
    k=-
    1
    2
    b1=3
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    ∴DM的解析式为y=-
    1
    2
    x+3．（6分）
    ∴F（0，3），EF=2．（7分）
    过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．
    ∵∠ADK=∠FDG=90°，
    ∴∠FDA=∠GDK．
    又∵∠FAD=∠GKD=90°，
    ∴△DAF≌△DKG．
    ∴KG=AF=1．
    ∵OC=3，
    ∴GO=1．（8分）
    ∴EF=2GO；

    （3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），
    则设P（t，2）．
    ∴PG2=（t-1）2+22，PC2=（3-t）2+22，GC=2．
    ①PG=PC，则（t-1）2+22=（3-t）2+22，
    解得t=2．
    ∴P（2，2），此时点Q与点P重合，
    ∴Q（2，2）．（9分）
    ②若PG=GC，则（t-1）2+22=22，
    解得t=1，
    ∴P（1，2），
    此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，
    ∴点Q的纵坐标为
    7
    3
    ，
    ∴Q（1，
    7
    3
    ）．（10分）
    ③若PC=GC，则（3-t）2+22=22，解得t=3，
    ∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．
    过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，
    ∴Q（h+1，h）．
    ∴-
    5
    6
    （h+1）2+
    13
    6
    （h+1）+1=h．
    解得h1=
    7
    5
    ，h2=-2（舍去）．
    ∴Q（
    12
    5
    ，
    7
    5
    ）．（12分）
    综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，
    7
    3
    ）或Q（
    12
    5
    ，
    7
    5
    ）．
    点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
    练习册系列答案
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    如图，在平面直角坐标系中，直y=
    3
    2
    x+b    与双曲线y=
    16
    x
    相交于第一象限内的点A，AB、AC分别垂直于x轴、y轴，垂足分别为B、C，已知四边形ABCD是正方形，求直线所对应的一次函数的解析式以及它与x轴的交点E的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶
    8，9，10，11或12
    8，9，10，11或12
    个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l1：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l2：y=
    13
    x    相交于点C．
    （1）求点C的坐标；
    （2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E，交直线l2于点D，平行于y轴的直x=a交直线l1于点M，交直线l2于点N，若MN=2ED，求a的值；
    （3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012届重庆万州区岩口复兴学校九年级下第一次月考数学试卷（带解析） 题型：解答题

    已知：直角梯形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图，若AC∥OB，OC平分∠AOB，CB⊥x轴于B，点A坐标为(3 ，4). 点P从原点O开始以2个单位/秒速度沿x轴正向运动 ；同时，一条平行于x轴的直线从AC开始以1个单位/秒速度竖直向下运动 ，交OA于点D，交OC于点M，交BC于点E. 当点P到达点B时，直线也随即停止运动.

    （1）求出点C的坐标；
    （2）在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形？请说明理由。若
    用y表示四边形OPEM的面积 ，直接写出y关于t的函数关系式及t的
    范围；并求出当四边形OPEM的面积y的最大值？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某个t值，使⊿MPB为等腰三角形？
    若有，请求出所有满足要求的t值.

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    科目：初中数学 来源：2013年浙江省湖州市中考数学模拟试卷（十一）（解析版） 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶______个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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