Question

4．如图，在四边形ABDC中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，并且E，F，G，H四点不共线．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．
（2）当AC=BD时，求证：四边形EFGH为菱形．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG=EH，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据菱形是判定定理证明．

解答 （1）证明：∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG=EH，
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）证明：由（1）得，FG=$\frac{1}{2}$BD，GH=$\frac{1}{2}$BC，
∵AC=BD，
∴GF=GH，
∴平行四边形EFGH为菱形．

点评 本题考查的是平行四边形的判定定理、菱形的判定定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．