Question

8．如图△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，AD为角平分线，延长AD交BF于E，E为BF中点，下列结论错误的是（　　）

• A． AD=BF
• B． CF=CD
• C． AC+CD=AB
• D． BE=CF

Answer 1

分析 先过点E作EH⊥AB于H，作EG⊥AF于G，判定Rt△EHB≌Rt△EGF，再判定△ACD≌△BCF，即可得出AD=BF，CD=CF，再根据AF=AB，可得AC+CD=AB．

解答 解：过点E作EH⊥AB于H，作EG⊥AF于G，则∠EHB=∠EGF=90°，
∵AD为角平分线，
∴EH=EG，
又∵E为BF中点，
∴EB=EF，
∴Rt△EHB≌Rt△EGF（HL），
∴∠BEH=∠FEG，
∵∠EAH=∠EAG，∠EHA=∠EGA，
∴∠AEH=∠AEG，
∴∠AEB=∠AEF=90°，即AE⊥BF，
又∵∠ACB=90°，∠ADC=∠BDE，
∴∠CAD=∠CBF，
在△ACD和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBF}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF，CD=CF，故A、B选项正确；
∴AC+CD=AC+CF=AF，
又∵AE垂直平分BF，
∴AF=AB，
∴AC+CD=AB，故C正确；
∵EF＞CD，
∴BE＞CF，故D错误．
故选：D．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质与等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行判断．