Question

已知抛物线y=﹣x²+bx+c的对称轴为直线x=1,最小值为3，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．
【小题1】（1）求抛物线的解析式.
【小题2】（2）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
【小题3】（3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

Answer 1

【小题1】解：（1）∵抛物线y=﹣x²+bx+c的对称轴为直线x=1
∴2b=1,∴b=
又∵抛物线最小值为3
∴3=-，∴c=
∴抛物线解析式为：
【小题2】2）把x=0代入抛物线得：y=，
∴点A（0，）．--------------------------------------3分
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴OC=1．
【小题3】（3）①如图：∵此抛物线与y轴交于点A，顶点为B
∴B（1，3）
分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，
∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
∴△CDM≌△EDN
∴DM=DN，
∴DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
设BQ的解析式为：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．
所以直线BQ的解析式为：y=﹣x+4．-------------------------------6分
②所求的点P的坐标为：P₁（1+，），P₂（1+3，﹣），P₃（1﹣，），
P₄（1﹣3，﹣）．

解析