Question

抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0）点B（3，0），其开口向上，点C是抛物线与y轴的交点，且OC=3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将抛物线x轴下方的部分沿x轴对折交y轴于点C，若直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个，求b的取值范围；
（3）如图②，过点B作BD⊥x轴，交AC的延长线于点D，设点C的上方有一点P（0，t），且△PAD的面积为15，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与△PAD总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0）点B（3，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
∵OC=3OA，
∴C点的坐标为（0，-3），
把C的坐标代入y=a（x-1）（x-3），
解得a=1，
∴y=x²-2x-3；
（2）由题意可知翻折后的抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
①当直线过（3，0）时，b=3，当直线过（-1，0）时，b=-1，
∴当-1＜b＜3时，直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个；
②由得：x2-3x+b-3=0，
∵直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个，
∴△=9-4（b-3）=0，
∴b=，
综上可知以及结合图形可知当-1＜b＜3时或b＞时，直线和曲线有两个交点；

（3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，
∴y=-3x-3，
当x=3时，y=-12，
∴D（3，-12）
∴（t+3）×4=15，
∴t=，
即P的坐标为（0，），
设平移后的抛物线解析式为y=（x-1）²+m，
则当抛物线过点P时，=（0-1）²+m，
解得m=，此时抛物线向上平移了个单位，
当抛物线过D点时，-9=（-3+1）²+m，
解得m=-13，
又因为-12=（3-1）²+m，解得m=-16，此时抛物线向下平移了12个单位，
综上可知抛物线最多向上平移个单位，向下最多平移12个单位．
分析：（1）因为抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0）点B（3，0），所以可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），由条件OC=3OA可知C的坐标为（0，-3），代入解析式y=a（x-1）（x-3）求出a的值即可；
（2）首先求出翻折后的抛物线的解析式，若直线y=-x+b与翻折后的曲线的交点数为两个则当直线介于A，B之间可求出b的范围或联立两个解析式组成的方程组有解也可以求出b的取值范围；
（3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A，C点的坐标分别代入求出直线的解析式，进而求出P点的坐标，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与△PAD总有公共点，则可求出向上和向下时的m的最值即可．
点评：本题考查了用待定系数法求出二次函数和一次函数的解析式，一次函数和二次函数交点的个数以及二次函数的平移，题目的综合性不小，难度中等．