【题目】如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC;
(2)求证:△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求AD:EF的值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】试题分析:(1)由线段垂直平分线的性质得出GA=GB,GD=GC,由SAS证明△AGD≌△BGC,得出对应边相等即可;
(2)先证出∠AGB=∠DGC,由,证出△AGB∽△DGC,得出比例式,再证出∠AGD=∠EGF,即可得出△AGD∽△EGF;
(3)延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AH⊥BH,由△AGD≌△BGC,得出∠GAD=∠GBC,再求出∠AGB=∠AHB=90°,得出∠AGE=∠AGB=45°,求出,由△AGD∽△EGF,即可得出的值.
试题解析:(1)证明:∵GE是AB的垂直平分线,
∴GA=GB,
同理:GD=GC,
在△AGD和△BGC中,
,
∴△AGD≌△BGC(SAS),
∴AD=BC;
(2)证明:∵∠AGD=∠BGC,
∴∠AGB=∠DGC,
在△AGB和△DGC中, ,
∴△AGB∽△DGC,
∴,
又∵∠AGE=∠DGF,
∴∠AGD=∠EGF,
∴△AGD∽△EGF;
(3)延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,如图所示:
则AH⊥BH,
∵△AGD≌△BGC,
∴∠GAD=∠GBC,
在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB,
∴∠AGB=∠AHB=90°,
∴∠AGE=∠AGB=45°,
∴,
又∵△AGD∽△EGF,
∴=.
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【题目】某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况,随机抽取一部分学生进行问卷调查,统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图:
请根据以上统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)共抽取_____名学生进行问卷调查;
(2)补全条形统计图,求出扇形统计图中“篮球”所对应的圆心角的度数;
(3)该校共有2500名学生,请估计全校学生喜欢足球运动的人数.
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【题目】综合运用
(1)某种花粉颗粒的半径为25μm,多少颗这样的花粉颗粒紧密排成一列的长度为1米?(1μm=10-6 m)
(2).已知(a+b)2=7, (a-b)2=3,求:①a2+b2; ②ab的值.
(3)已知10m=4,10n=5.求103m-2n+1的值.
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【题目】乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发,沿同一条公路相向而行,乙车出发2h后休息,与甲车相遇后,继续行驶.设甲、乙两车与B地的路程分别为y甲(km),y乙(km),甲车行驶的时间为x(h),y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示,结合图象解答下列问题:
(1)乙车休息了h.
(2)求乙车与甲车相遇后y乙关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当两车相距40km时,求x的值.
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【题目】如图,l是四边形ABCD的对称轴,如果AD∥BC,有下列结论:①AB∥CD;②AB=BC;③AB⊥BC;④AO=OC,其中正确的结论是(把你认为正确的结论的序号都填上).
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