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【题目】如图1,在四边形ABCD中,点EF分别是ABCD的中点,过点EAB的垂线,过点FCD的垂线,两垂线交于点G,连接AGBGCGDG,且∠AGD=BGC

(1)求证:AD=BC

(2)求证:AGD∽△EGF

(3)如图2,若ADBC所在直线互相垂直,求AD:EF的值.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】试题分析:(1)由线段垂直平分线的性质得出GA=GBGD=GC,由SAS证明AGD≌△BGC,得出对应边相等即可;

2)先证出∠AGB=DGC,由,证出AGB∽△DGC,得出比例式,再证出∠AGD=EGF,即可得出AGD∽△EGF

3)延长ADGB于点M,交BC的延长线于点H,则AHBH,由AGD≌△BGC,得出∠GAD=GBC,再求出∠AGB=AHB=90°,得出∠AGE=AGB=45°,求出,由AGD∽△EGF,即可得出的值.

试题解析:(1)证明:∵GEAB的垂直平分线,

GA=GB

同理:GD=GC

AGDBGC中,

∴△AGD≌△BGCSAS),

AD=BC

2)证明:∵∠AGD=BGC

∴∠AGB=DGC

AGBDGC中,

∴△AGB∽△DGC

又∵∠AGE=DGF

∴∠AGD=EGF

∴△AGD∽△EGF

3)延长ADGB于点M,交BC的延长线于点H,如图所示:

AHBH

∵△AGD≌△BGC

∴∠GAD=GBC

GAMHBM中,∠GAD=GBCGMA=HMB

∴∠AGB=AHB=90°

∴∠AGE=AGB=45°

又∵△AGD∽△EGF

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