Question

15．在长方形ABCD中，E是AD的中点，过E作EF⊥CE，找出图形中的相似三角形并说明理由；正方形ABCD改为矩形ABCD，则情况又怎样呢？

Answer 1

分析 根据线段中点的定义可得AE=DE，求出∠AEF=∠DCE，利用两组角对应相等的两个三角形相似求出△AEF和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AE}{CD}$=$\frac{EF}{EC}$，然后求出$\frac{AF}{AE}$=$\frac{EF}{EC}$，再根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求解即可；矩形时同理可求．

解答 解：△AEF∽△EFC，理由如下：
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AE}{CD}$=$\frac{EF}{EC}$，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{EF}{EC}$，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△EFC；
当四边形ABCD为矩形时，同理可得△AEF∽△DCE，
∴$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AE}{CD}$=$\frac{EF}{EC}$，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{EF}{EC}$，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△EFC．

点评 本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．