如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,过B作BG⊥AE于G,延长BG至点F使∠CFB=45°
(1)求证:AG=FG;
(2)延长FC、AE交于点M,连接DF、BM,若C为FM中点,BM=10,求FD的长.
(1)通过证明AG="BH" ,BH=HF+GH=FG,则AG=FG (2)
解析试题分析:(1)证明:过C点作CH⊥BF于H点
∵∠CFB=45°
∴CH=HF
∵∠ABG+∠BAG=90°, ∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE
∵AG⊥BF CH⊥BF
∴∠AGB=∠BHC=90°
在△AGB和△BHC中
∵∠AGB=∠BHC,∠BAG=∠HBC, AB=BC
∴△AGB≌△BHC
∴AG=BH, BG=CH
∵BH=BG+GH
∴BH=HF+GH=FG
∴AG=FG
(2) ∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C为FM的中点
∴CH=GM∴BG=
GM∵BM=10
∴BG=, GM=
(1分)∴AG=
AB=10
∴HF= ∴CF=
×
∴CM=
过B点作BK⊥CM于K
∵CK==
, ∴BK=
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q
∴△BKC≌△CQD
∴CQ=BK=
DQ=CK=∴QF=
-
=
∴DF=
=
考点:三角形和正方形
点评:本题考查三角形和正方形的知识,解本题的关键是熟练掌握三角形和正方形的一些性质,此题难度较大
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