Question

【题目】在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，交于点．

（1）如图（1），双曲线过点，直接写出点的坐标和双曲线的解析式；

（2）如图（2），双曲线与分别交于点，点关于的对称点在轴上．求证，并求点的坐标；

（3）如图（3），将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当为等腰三角形时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）证明见解析，；（3）满足条件的的值为3或12．

【解析】

（1）利用中点坐标公式求出点E坐标即可．

（2）由点M，N在反比例函数的图象上，推出DNAD=BMAB，因为BC=AD，AB=CD，推出DNBC=BMCD，推出，可得MN∥BD，由此即可解决问题．

（3）分两种情形：①当AP=AE时．②当EP=AE时，分别构建方程求解即可．

解：（1）如图1中，

∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∵双曲线过点，

∴．

∴反比例函数的解析式为．

（2）如图2中，

∵点在反比例函数的图象上，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴直线的解析式为，

∵关于对称，

∴，

∵，

∴直线的解析式为，

∴．

（3）如图3中，

①当时，∵，在反比例函数图象上，

∴，

∴．

②当时，点与点重合，∵，在反比例函数图象上，

∴，

∴．

综上所述，满足条件的的值为3或12．