Question

20．已知点P（x₀，y_0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=$\frac{|{kx}_{0}{-y}_{0}+b|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$计算．
例如：求点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离为d=$\frac{3×（-1）-2+7}{\sqrt{1{+3}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）点P（1，-1）到直线y=x+1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q的坐标为（0，4），半径r为2，判断⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+8的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=-2x+1与y=-2x+6平行，A、B是直线y=-2x+1上的两点且AB=8，P是直线y=-2x+6上任意一点，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据点到直线的距离公式计算即可；
（2）求出点Q（0，4）到直线y=$\sqrt{3}$x+8的距离d即可判断；
（3）在直线y=-2x+6上取一点Q（0，6），根据点到直线的距离公式可知：点Q（0，6），到直线y=-2x+1的距离d=$\sqrt{5}$，利用平行线的性质即可解决问题；

解答 解：（1）根据点到直线的距离公式可知：点P（1，-1）到直线y=x+1的距离d=$\frac{|1-（-1）-1|}{\sqrt{1+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（2）结论：判断⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+8相切．
理由：根据点到直线的距离公式可知：点Q（0，4）到直线y=$\sqrt{3}$x+8的距离d=$\frac{|0-4+8|}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=2．
∵⊙Q的半径为2，
∴d=r，
∴⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+8相切．

（3）在直线y=-2x+6上取一点Q（0，6），
根据点到直线的距离公式可知：点Q（0，6），到直线y=-2x+1的距离d=$\frac{|0-6+1|}{\sqrt{1+（-2）^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∵直线y=-2x+1与y=-2x+6平行，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$•AB•d=$\frac{1}{2}$•8•$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．