Question

抛物线y=x²在直角坐标系中向下平移4个单位得到抛物线y₁，y₁与x轴的交点为A₁、B₁，与y轴的交点为O₁，A₁、B₁、O₁对应y=x²上的点依次为A、B、O．
（1）写出y₁的解析式及A、B两点的坐标；
（2）求抛物线Y和y₁及线段AA₁和BB₁围成的图形的面积；
（3）若平行于x轴的一条直线y=m与抛物线y交于P、Q两点，与抛物线y₁交于R、S两点，且P、Q两点三等分线段RS，求m的值；
（4）若正比例函数y=kx（k≠0）与抛物线y₁交于M、N两点，问点O能否平分线段MN，并说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线y=x²向下平移4个单位得抛物线y₁，
故y的顶点向下平移4个单位，
可得y₁=x²-4，令y=0，求得x=±2，
故坐标A（-2，4）、B（2，4）．

（2）连接AB，则抛物线y₁和A₁B₁围成的图形的面积等于
抛物线y和AB围成的图形的面积，
∴抛物线y₁和y₂及AA₁图1和BB₁围成的图形的面积等于正方形AA₁BB₁的面积S=16．

（3）如图1，
∵RP=PQ=QS，
∴RS=3PQ，
即2=6，解得m=．

（4）如图2，点O不能平分线段MN，理由如下：
由，得x²-kx-4=0，
∴x₁+x₂=k≠0，
∴x₁≠-x₂，
∴OM≠ON．
分析：（1）抛物线y=x²向下平移4个单位得抛物线y₁，故y的顶点向下平移4个单位．故能得到解析式，令y=0，就能求得A、B两点的坐标．（2）连接AB，则抛物线y₁和A₁B₁围成的图形的面积等于抛物线y和AB围成的图形的面积，故抛物线y₁和y₂及AA₁图1和BB₁围成的图形的面积等于正方形AA₁BB₁的面积．（3）由RP=PQ=QS，可得RS=3PQ．进而求得m．（4）看点O能否平分线段MN，两图象交点横坐标之和是不是等于0．
点评：本题是二次函数的综合题，会求抛物线的解析式，涉及平移等知识点．此题不难．