Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D
（1）若AB=5cm，BC=3cm，求CD的长；
（2）若BD=2，AD=4，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据勾股定理求得直角三角形的另一直角边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高CD；
（2）利用等角的余角相等得到∠B=∠ACD，则利用有两组角对应相等的两三角形相似可判断△ADC∽△CDB；利用相似比得到$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，然后利用比例性质求CD．

解答 解：（1）在直角三角形ABC中，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4（cm），
根据直角三角形的面积公式，得CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$（cm）
故CD的长为$\frac{12}{5}$cm；
（2）∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠B=90°
∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，即$\frac{4}{CD}$=$\frac{CD}{2}$，
∴CD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；再运用相似三角形的性质时主要利用相似比进行几何计算．