Question

17．等边△ABC的边长为4，点D在AB边上，且CD=$\sqrt{13}$．则tan∠BCD的值为$\frac{3\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 过点C作AB的垂线，垂足为M．根据等边三角形以及等腰三角形三线合一的性质得出∠B=60°，AM=MB=$\frac{1}{2}$AB=2，利用三角函数求出CM=2$\sqrt{3}$．在Rt△CDM中利用勾股定理求出DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=1．再分两种情况讨论：①D在线段AM上；②D在线段BM上．过D作DN⊥BC于N，分别求出DN、CN的长，再根据正切函数的定义即可求出tan∠BCD的值．

解答 解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵等边△ABC的边长为4，
∴∠B=60°，AM=MB=$\frac{1}{2}$AB=2，CM=4×sin60°=2$\sqrt{3}$．
∵在Rt△CDM中，∠CMD=90°，CD=$\sqrt{13}$，CM=2$\sqrt{3}$，
∴DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=1．
分两种情况讨论：
①D在线段AM上时，如图1，过D作DN⊥BC于N．此时BD=BM+DM=2+1=3，
在Rt△BDN中，∵BD=3，∠BND=90°，∠B=60°，
∴DN=BD•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，BN=BD•cos60°=$\frac{3}{2}$，
∴CN=BC-BN=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴tan∠BCD=$\frac{DN}{CN}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$；
②D在线段BM上时，如图2，过D作DN⊥BC于N．此时BD=BM-DM=2-1=1，
在Rt△BDN中，∵BD=1，∠BND=90°，∠B=60°，
∴DN=BD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BN=BD•cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴CN=BC-BN=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴tan∠BCD=$\frac{DN}{CN}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{7}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．