Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm．
则：（1）平行四边形ABCD的周长=

 

；
（2）平行四边形ABCD的面积=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠EBC+∠ECB=90°，推出△EBC是直角三角形，根据勾股定理求出BC，根据等腰三角形的判定推出DE=CD，AB=AE，即可求出平行四边形的周长；
（2）作EH⊥BC，垂足H，根据三角形的面积公式求出DH，根据面积求出即可．

解答：解：（1）∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴

1

2

（∠ABC+∠DCB）=90°，
BE和CE分别是∠ABC和∠BCD平分线，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
△EBC是直角三角形，
根据勾股定理：BC=13，
∵AD∥BC，
∠DEC=∠ECB，（内错角相等）
∠ECD=∠ECB，（已知）
∴∠DEC=∠ECD，
DE=CD，
同理AB=AE，
AB+CD=AE+DE=AD=BC=13，
∴平行四边形ABCD周长=BC+AD+AB+CD=13+13+13=39，
故答案为：39．

（2）如图，作EH⊥BC，垂足为H
S_△BEC=

1

2

BE×EC=

1

2

×12×5=30，
S_△BEC=

1

2

×BC×EH=13×EH×

1

2

，
13×EH×

1

2

=30，
EH=

60

13

，
∴S_{平行四边形ABCD}=BC*EH=13×

60

13

=60，
故答案为：60．

点评：本题主要考查对平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．