Question

考虑方程（x²-10x+a）²=b①
（1）若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．
（2）若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式？说明你的结论．

Answer 1

（1）把方程变形为（x²-10x+a-

b

）（x²-10x+a+

b

）=0．当a=24，
得到x²-10x+24-

b

=0或x²-10x+24+

b

=0；
△₁=4（1+

b

）；△₂=4（1-

b

），
要保证恰有3个不同的实数x满足①式，
则△₁＞0，△₂=0，所以有b=1．

（2）不存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．理由如下：
由（1）得x²-10x+a-

b

=0或x²-10x+a+

b

=0，则△₁=4（25-a+

b

），△₂=4（25-a-

b

），
若a≥25，则有△₂≤0，当△₂＜0时，最多有两个不同的x满足①；当△₂=0，有a=25，b=0，则△₁=0，两个方程都有相同的等根5，所以只有一个x满足①．