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【题目】如图1,四边形的对角线相交于点.

(1)填空:的数量关系为

(2)求的值;

(3)将沿翻折,得到(如图2),连接,与相交于点.若,求的长.

【答案】(1BAD+ACB=180°231.

【解析】

试题分析:(1)在ABD中,根据三角形的内角和定理即可得出结论:BAD+ACB=180°;

(2)如图1中,作DEAB交AC于E.由OAB≌△OED,可得AB=DE,OA=OE,设AB=DE=CE=CE=x,OA=OE=y,由EAD∽△ABC,推出,可得,可得4y2+2xy﹣x2=0,即,求出的值即可解决问题;

(3)如图2中,作DEAB交AC于E.想办法证明PA′D∽△PBC,可得可得,即,由此即可解决问题;

试题解析:(1)如图1中,

ABD中,∵∠BAD+ABD+ADB=180°,ABD+ADB=ACB,

∴∠BAD+ACB=180°,故答案为BAD+ACB=180°.

(2)如图1中,作DEAB交AC于E.

∴∠DEA=BAE,OBA=ODE,

OB=OD,∴△OAB≌△OED,

AB=DE,OA=OE,设AB=DE=CE=CE=x,OA=OE=y,

∵∠EDA+DAB=180°,BAD+ACB=180°,

∴∠EDA=ACB,∵∠DEA=CAB,∴△EAD∽△ABC,

4y2+2xy﹣x2=0,

(负根已经舍弃),

(3)如图2中,作DEAB交AC于E.

由(1)可知,DE=CE,DCA=DCA′,∴∠EDC=ECD=DCA′,

DECA′AB,∴∠ABC+A′CB=180°,

∵△EAD∽△ACB,∴∠DAE=ABC=DA′C,

∴∠DA′C+A′CB=180°,A′DBC,

∴△PA′D∽△PBC,

,即

PC=1.

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