Question

某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设

AP

PM

=k，若∠BPC=90°，则称k为勾股比．

（1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD=BE．
（2）①如图（2），当=1，且AB=AC时，AB²+AC²=

2.5

BC²（填一个恰当的数）．
②如图（1），当k=1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；
③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB²+AC²与BC²的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）．

Answer 1

分析：（1）根据中点的定义可得BM=CM，然后利用“角角边”证明△BME和△CMD全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）①②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=

1

2

BC，然后求出BC=AD，再根据勾股定理列式其解即可；
③设EM=DM=a，表示出AE、AD，然后根据勾股定理列式表示出AB²、AC²，再求出AB²+AC²，再次利用勾股定理列式求出BE²+x²=CD²+x²=

1

4

BC²，然后根据勾股比用PM表示出AM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PM=

1

2

BC，然后分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况代入进行计算即可得解．

解答：（1）证明：∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，
∴∠E=∠CDM=90°，
在△BME和△CMD中，

∠E=∠CDM=90° ∠BME=∠DMC BM=CM

，
∴△BME≌△CMD（AAS），
∴CD=BE；

（2）①AB²+AC²=2.5BC²．
理由如下：∵AM是△ABC的中线，
∴PM=BM=CM=

1

2

BC，
∵k=1，
∴AP=PM，
∴AM=2PM=BC，
在Rt△ABM中，AB²=AM²+BM²=BC²+

1

4

BC²=

5

4

BC²，
在Rt△ACM中，AC²=AM²+CM²=BC²+

1

4

BC²=

5

4

BC²，
∴AB²+AC²=

5

4

BC²+

5

4

BC²=2.5BC²；
即AB²+AC²=2.5BC²；

②结论仍然成立．
设EM=DM=a，则AE=AM+a，AD=AM-a，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=（AM+a）²+BE²=AM²+2AM•a+a²+BE²，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=（AM-a）²+CD²=AM²-2AM•a+a²+CD²，
∴AB²+AC²=2AM²+（a²+BE²）+（a²+CD²），
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，
∴∠E=∠CDM=90°，
∴a²+BE²=BM²=

1

4

BC²，a²+CD²=CM²=

1

4

BC²，
∴AB²+AC²=2AM²+

1

2

BC²，
∵

AP

PM

=1，
∴AP=PM，
∵∠BPC=90°，AM是△ABC的中线，
∴PM=

1

2

BC，
若△ABC是锐角三角形，则AM=AP+PM=PM+PM=（1+1）PM=BC，
∴AB²+AC²=2×BC²+

1

2

BC²=

5

2

BC²，
即AB²+AC²=2.5BC²；

③结论：锐角三角形：AB²+AC²=

k2+2k+2

2

BC²，
钝角三角形：AB²+AC²=

k2-2k+2

2

BC²，
理由如下：设EM=DM=a，则AE=AM+a，AD=AM-a，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=（AM+a）²+BE²=AM²+2AM•a+a²+BE²，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=（AM-a）²+CD²=AM²-2AM•a+a²+CD²，
∴AB²+AC²=2AM²+（a²+BE²）+（a²+CD²），
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，
∴∠E=∠CDM=90°，
∴a²+BE²=BM²=

1

4

BC²，a²+CD²=CM²=

1

4

BC²，
∴AB²+AC²=2AM²+

1

2

BC²，
∵

AP

PM

=k，
∴AP=kPM，
∵∠BPC=90°，AM是△ABC的中线，
∴PM=

1

2

BC，
若△ABC是锐角三角形，则AM=AP+PM=kPM+PM=（k+1）PM=

k+1

2

BC，
∴AB²+AC²=2×（

k+1

2

BC）²+

1

2

BC²=

k2+2k+2

2

BC²，
即AB²+AC²=

k2+2k+2

2

BC²；
若△ABC是钝角三角形，则AM=PM+AP=PM-kPM=（1-k）PM=

1-k

2

BC，
AB²+AC²=2×（

1-k

2

BC）²+

1

2

BC²=

k2-2k+2

2

BC²，
即AB²+AC²=

k2-2k+2

2

BC²．

点评：本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题目信息，在不同的直角三角形中利用勾股定理列式用AM²表示出AB²+AC²是解题的关键，也是本题的难点．