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某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出:“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题.首先定义了一个新的概念:如图(1)△ABC中,M是BC的中点,P是射线MA上的点,设
APPM
=k,若∠BPC=90°,则称k为勾股比.

(1)如图(1),过B、C分别作中线AM的垂线,垂足为E、D.求证:CD=BE.
(2)①如图(2),当=1,且AB=AC时,AB2+AC2=
2.5
2.5
BC2(填一个恰当的数).
②如图(1),当k=1,△ABC为锐角三角形,且AB≠AC时,①中的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,也请说明理由;
③对任意锐角或钝角三角形,如图(1)、(3),请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可).
分析:(1)根据中点的定义可得BM=CM,然后利用“角角边”证明△BME和△CMD全等,再根据全等三角形对应边相等即可得证;
(2)①②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=
1
2
BC,然后求出BC=AD,再根据勾股定理列式其解即可;
③设EM=DM=a,表示出AE、AD,然后根据勾股定理列式表示出AB2、AC2,再求出AB2+AC2,再次利用勾股定理列式求出BE2+x2=CD2+x2=
1
4
BC2,然后根据勾股比用PM表示出AM,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PM=
1
2
BC,然后分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况代入进行计算即可得解.
解答:(1)证明:∵M是BC的中点,
∴BM=CM,
∵BE⊥AM于E,CD⊥AM于D,
∴∠E=∠CDM=90°,
在△BME和△CMD中,
∠E=∠CDM=90°
∠BME=∠DMC
BM=CM

∴△BME≌△CMD(AAS),
∴CD=BE;

(2)①AB2+AC2=2.5BC2
理由如下:∵AM是△ABC的中线,
∴PM=BM=CM=
1
2
BC,
∵k=1,
∴AP=PM,
∴AM=2PM=BC,
在Rt△ABM中,AB2=AM2+BM2=BC2+
1
4
BC2=
5
4
BC2
在Rt△ACM中,AC2=AM2+CM2=BC2+
1
4
BC2=
5
4
BC2
∴AB2+AC2=
5
4
BC2+
5
4
BC2=2.5BC2
即AB2+AC2=2.5BC2

②结论仍然成立.
设EM=DM=a,则AE=AM+a,AD=AM-a,
在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=(AM+a)2+BE2=AM2+2AM•a+a2+BE2
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=(AM-a)2+CD2=AM2-2AM•a+a2+CD2
∴AB2+AC2=2AM2+(a2+BE2)+(a2+CD2),
∵BE⊥AM于E,CD⊥AM于D,
∴∠E=∠CDM=90°,
∴a2+BE2=BM2=
1
4
BC2,a2+CD2=CM2=
1
4
BC2
∴AB2+AC2=2AM2+
1
2
BC2
AP
PM
=1,
∴AP=PM,
∵∠BPC=90°,AM是△ABC的中线,
∴PM=
1
2
BC,
若△ABC是锐角三角形,则AM=AP+PM=PM+PM=(1+1)PM=BC,
∴AB2+AC2=2×BC2+
1
2
BC2=
5
2
BC2
即AB2+AC2=2.5BC2

③结论:锐角三角形:AB2+AC2=
k2+2k+2
2
BC2
钝角三角形:AB2+AC2=
k2-2k+2
2
BC2
理由如下:设EM=DM=a,则AE=AM+a,AD=AM-a,
在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=(AM+a)2+BE2=AM2+2AM•a+a2+BE2
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=(AM-a)2+CD2=AM2-2AM•a+a2+CD2
∴AB2+AC2=2AM2+(a2+BE2)+(a2+CD2),
∵BE⊥AM于E,CD⊥AM于D,
∴∠E=∠CDM=90°,
∴a2+BE2=BM2=
1
4
BC2,a2+CD2=CM2=
1
4
BC2
∴AB2+AC2=2AM2+
1
2
BC2
AP
PM
=k,
∴AP=kPM,
∵∠BPC=90°,AM是△ABC的中线,
∴PM=
1
2
BC,
若△ABC是锐角三角形,则AM=AP+PM=kPM+PM=(k+1)PM=
k+1
2
BC,
∴AB2+AC2=2×(
k+1
2
BC)2+
1
2
BC2=
k2+2k+2
2
BC2
即AB2+AC2=
k2+2k+2
2
BC2
若△ABC是钝角三角形,则AM=PM+AP=PM-kPM=(1-k)PM=
1-k
2
BC,
AB2+AC2=2×(
1-k
2
BC)2+
1
2
BC2=
k2-2k+2
2
BC2
即AB2+AC2=
k2-2k+2
2
BC2
点评:本题考查了勾股定理的应用,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,读懂题目信息,在不同的直角三角形中利用勾股定理列式用AM2表示出AB2+AC2是解题的关键,也是本题的难点.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出:“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题.首先定义了一个新的概念:如图(1)△ABC中,M是BC的中点,P是射线MA上的点,设数学公式=k,若∠BPC=90°,则称k为勾股比.

(1)如图(1),过B、C分别作中线AM的垂线,垂足为E、D.求证:CD=BE.
(2)①如图(2),当=1,且AB=AC时,AB2+AC2=______BC2(填一个恰当的数).
②如图(1),当k=1,△ABC为锐角三角形,且AB≠AC时,①中的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,也请说明理由;
③对任意锐角或钝角三角形,如图(1)、(3),请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可).

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