Question

如图，已知二次函数的图象过x轴上点A(，0)和点B，且与y轴交于点C．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)若点P是直线AC上一动点，当∠OPB＝90°时，求点P坐标．

(3)若点P在过点C的直线y＝kx＋b上移动，只存在一个点P使∠OPB＝90°，求此时这条过点C的直线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)将A(，0)代入， 　　即，得： 　　∴二次函数的解析式为 　　(2)已知抛物线解析式为， 　　令y＝0，解得x1＝，x2＝ 4 　　令x＝0，解得y＝1 　　∴A、B、C三点坐标为A(，0)、B(4，0)、C(0，1) 　　设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把C点、A点坐标代入， 　　求出直线AC解析式为：， 　　设P(x，－2x＋1)，连结OP、PB，过P点作PF⊥OA于F， 　　∵∠OPB＝90°， 　　∴△OPF∽△PBF 　　∴ 　　即PF2＝OF·FB 　　∴ 　　解得：， 　　∴＝ 　　∴点P坐标为：P(，)或P(，) 　　(3)①以OB为直径作⊙G，当过C点的直线切圆G于点P时，直线与x轴交于点H，只存在一个点P使∠OPB＝90°． 　　把C点坐标代入直线得，b＝1， 　　∵HP是圆O切线，∠COH＝∠HPG＝90°，又∵∠OHC＝∠PHG 　　∴△HOC∽△HPG 　　由HO∶HP＝OC∶PG，设HO＝a，由PG＝2，OC＝1， 　　得HP＝2a 　　在Rt△HPG中，由得 　　解得(不合题意，舍去)， 　　∵与x轴交点的横坐标为， 　　∴　得 　　∴所求直线的解析式为： 　　②当过C点的直线过B点时，只存在一个点P使∠OPB＝90° 　　∴所求直线BC的解析式为： 　　∴综上所述，所求直线的解析式为：或